Nội dung

Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. ˜ N THUY ’ THANH NGUYÊ BÀI T .P ´P TOÁN CAO C Tâ.p 2 Phép tı́nh vi phân các hàm ´T BA ´C GIA HÀ NÔI ’ N DAI HOC QUÔ NHÀ XU . . . Mu.c lu.c 7 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i ha.n . 7.1.2 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên các ` gió.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . di.nh lý vê `u 7.1.3 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên diê kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . `u 7.1.4 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên diê ` n và du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên lý hô.i tu. kiê.n câ 7.2 7.3 7.4 Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . Gió i ha.n hàm mô.t biê´n . . . . . . . . . . . . . . . . ` gió.i ha.n 7.2.1 Các khái niê.m và di.nh lý co. ba’n vê Hàm liên tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` u biê´n . . . . . . Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiê 3 4 5 11 17 . . 25 . . 27 . . 27 . . 41 . . 51 8 Phép tı́nh vi phân hàm mô.t biê´n 60 - a.o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1 D - a.o hàm câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D - a.o hàm câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.1.2 D 8.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Vi phân câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 2 MU . C LU .C 8.3 8.2.2 Vi phân câ´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` hàm kha’ vi. Quy tă´c l’Hospital. Các di.nh lý co. ba’n vê Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` hàm kha’ vi . . . . . . . . 8.3.1 Các d i.nh lý co. ba’n vê . 8.3.2 Khu’ các da.ng vô di.nh. Quy tă´c Lôpitan (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . ` u biê´n 9 Phép tı́nh vi phân hàm nhiê - a.o hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 D - a.o hàm riêng câ´p 1 . . . . . . . . . 9.1.1 D - a.o hàm cu’a hàm ho..p . . . . . . . . 9.1.2 D 9.1.3 Hàm kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . - a.o hàm theo hu.ó.ng . . . . . . . . . 9.1.4 D - a.o hàm riêng câ´p cao . . . . . . . . 9.1.5 D ` u biê´n . . . . . . . . . 9.2 Vi phân cu’a hàm nhiê 9.2.1 Vi phân câ´p 1 . . . . . . . . . . . . . ` n dúng . 9.2.2 Áp du.ng vi phân dê’ tı́nh gâ 9.2.3 Các tı́nh châ´t cu’a vi phân . . . . . . 9.2.4 Vi phân câ´p cao . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Công thú.c Taylor . . . . . . . . . . . 9.2.6 Vi phân cu’a hàm â’n . . . . . . . . . ` u biê´n . . . . . . . . . 9.3 Cu..c tri. cu’a hàm nhiê . 9.3.1 Cu. c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . ` u kiê.n . . . . . . . . . . 9.3.2 Cu..c tri. có diê 9.3.3 Giá tri. ló.n nhâ´t và bé nhâ´t cu’a hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 Chu.o.ng 7 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên ` gió.i ha.n . . . . . . . . . . . . các di.nh lý vê 7.1.3 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a ` u kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên trên diê Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 7.1.4 4 5 11 lý 17 Chú.ng minh su.. hô.i tu. cu’a dãy sô´ du..a trên ` n và du’ dê’ dãy hô.i tu. (nguyên ` u kiê.n câ diê lý hô.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gió.i ha.n hàm mô.t biê´n . . . . . . . . . . . . 27 ` gió.i ha.n 27 7.2.1 Các khái niê.m và di.nh lý co. ba’n vê 7.3 Hàm liên tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ` u biê´n . 51 Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiê 7.4 Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 4 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ Hàm sô´ xác di.nh trên tâ.p ho..p N du.o..c go.i là dãy sô´ vô ha.n. Dãy sô´ thu.ò.ng du.o..c viê´t du.ó.i da.ng: a1, a2, . . . , an , . . . (7.1) hoă.c {an }, trong dó an = f (n), n ∈ N du.o..c go.i là sô´ ha.ng tô’ng quát cu’a dãy, n là sô´ hiê.u cu’a sô´ ha.ng trong dãy. ` n lu.u ý các khái niê.m sau dây: Ta câ i) Dãy (7.1) du.o..c go.i là bi. chă.n nê´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | 6 M; và go.i là không bi. chă.n nê´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M. ii) Sô´ a du.o..c go.i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nê´u: ∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n > N ⇒ |an − a| < ε. (7.2) iii) Sô´ a không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nê´u: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |an − a| > ε. (7.3) iv) Dãy có gió.i ha.n du.o..c go.i là dãy hô.i tu., trong tru.ò.ng ho..p ngu.o..c la.i dãy (7.1) go.i là dãy phân kỳ. v) Dãy (7.1) go.i là dãy vô cùng bé nê´u lim an = 0 và go.i là dãy n→∞ vô cùng ló.n nê´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an | > A và viê´t lim an = ∞. ` u kiê.n câ ` n dê’ dãy hô.i tu. là dãy dó pha’i bi. chă.n. vi) Diê Chú ý: i) Hê. thú.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng vó.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε. (7.4) 7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 5 Hê. thú.c (7.4) chú.ng to’ ră`ng mo.i sô´ ha.ng vó.i chı’ sô´ n > N cu’a dãy ` u nă`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng này go.i là ε-lân hô.i tu. dê câ.n cu’a diê’m a. Nhu. vâ.y, nê´u dãy (7.1) hô.i tu. dê´n sô´ a thı̀ mo.i sô´ ha.ng cu’a nó trù. ` u nă`m trong ε-lân câ.n bâ´t kỳ bé bao ra mô.t sô´ hũ.u ha.n sô´ ha.ng dê nhiêu tùy ý cu’a diê’m a. ii) Ta lu.u ý ră`ng dãy sô´ vô cùng ló.n không hô.i tu. và ký hiê.u lim an = ∞ (−∞) chı’ có nghı̃a là dãy an là vô cùng ló.n và ký hiê.u dó hoàn toàn không có nghı̃a là dãy có gió.i ha.n. 7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh nghı̃a gió.i ha.n ` n tiê´n Dê’ chú.ng minh lim an = a bă`ng cách su’. du.ng di.nh nghı̃a, ta câ . . hành theo các bu ó c sau dây: i) Lâ.p biê’u thú.c |an − a| ` u dó có lo..i) sao cho |an − a| 6 bn ∀ n và ii) Cho.n dãy bn (nê´u diê vó.i ε du’ bé bâ´t kỳ bâ´t phu.o.ng trı̀nh dô´i vó.i n: bn < ε (7.5) có thê’ gia’i mô.t cách dê˜ dàng. Gia’ su’. (7.5) có nghiê.m là n > f (ε), `n f (ε) > 0. Khi dó ta có thê’ lâ´y n là [f (ε)], trong dó [f (ε)] là phâ nguyên cu’a f (ε). CÁC VÍ DU . n Vı́ du. 1. Gia’ su’. an = n(−1) . Chú.ng minh ră`ng: i) Dãy an không bi. chă.n. ii) Dãy an không pha’i là vô cùng ló.n. Gia’i. i) Ta chú.ng minh ră`ng an tho’a mãn di.nh nghı̃a dãy không bi. chă.n. Thâ.t vâ.y, ∀ M > 0 sô´ ha.ng vó.i sô´ hiê.u n = 2([M] + 1) bă`ng ` u dó có nghı̃a là dãy an không bi. chă.n. n và ló.n ho.n M. Diê Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 6 ii) Ta chú.ng minh ră`ng an không pha’i là vô cùng ló.n. Thâ.t vâ.y, ta xét khoa’ng (−2, 2). Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’ ` u thuô.c khoa’ng (−2, 2) vı̀ khi n le’ thı̀ ta có: dê n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2). Nhu. vâ.y trong kho’ng (−2, 2) có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy. Tù. dó, theo di.nh nghı̃a suy ra an không pha’i là vô cùng ló.n. N Vı́ du. 2. Dùng di.nh nghı̃a gió.i ha.n dãy sô´ dê’ chú.ng minh ră`ng: 1) lim n→∞ (−1)n−1 = 0. n 2) lim n→∞ n = 1. n+1 ` n chú.ng minh Gia’i. Dê’ chú.ng minh dãy an có gió.i ha.n là a, ta câ ră`ng dô´i vó.i mô˜ i sô´ ε > 0 cho tru.ó.c có thê’ tı̀m du.o..c sô´ N (N phu. thuô.c ε) sao cho khi n > N thı̀ suy ra |an − a| < ε. Thông thu.ò.ng ta có thê’ chı’ ra công thú.c tu.ò.ng minh biê’u diê˜ n N qua ε. 1) Ta có: |an − 0| = 1 (−1)n−1 = · n n Gia’ su’. ε là sô´ du.o.ng cho tru.ó.c tùy ý. Khi dó: 1 1 <ε⇔n> · n ε ` u kiê.n: Vı̀ thê´ ta có thê’ lâ´y N là sô´ tu.. nhiên nào dó tho’a mãn diê N> 1 1 ⇒ < ε. ε N ` n nguyên (Chă’ng ha.n, ta có thê’ lâ´y N = [1/ε], trong dó [1/ε] là phâ cu’a 1/ε). Khi dó ∀ n > N thı̀: |an − 0| = 1 1 6 < ε. n N 7.1. Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 7 (−1)n ` u dó có nghı̃a là lim = 0. Diê n→∞ n 2) Ta lâ´y sô´ ε > 0 bâ´t kỳ và tı̀m sô´ tu.. nhiên N (ε) sao cho ∀ n > N (ε) thı̀: n − 1 < ε. n+1 Bâ´t dă’ng thú.c |an − 1| < ε ⇔ 1 1 < ε ⇔ − 1. n+1 ε ` n nguyên cu’a Do dó ta có thê’ lâ´y sô´ N (ε) là phâ 1 − 1, tú.c là: ε N (ε) = E((1/ε) − 1). Khi dó vó.i mo.i n > N ta có: 1 1 n n −1 = 6 < ε ⇒ lim = 1. N n→∞ n + 1 n+1 n+1 N +1 Vı́ du. 3. Chú.ng minh ră`ng các dãy sau dây phân kỳ: n∈N 1) an = n, 2) an = (−1)n , 3) n∈N 1 an = (−1)n + · n (7.6) (7.7) (7.8) Gia’i. 1) Gia’ su’. dãy (7.6) hô.i tu. và có gió.i ha.n là a. Ta lâ´y ε = 1. ` n ta.i sô´ hiê.u N sao cho ∀ n > N thı̀ Khi dó theo di.nh nghı̃a gió.i ha.n tô ta có |an − a| < 1 nghı̃a là |n − a| < 1 ∀ n > N . Tù. dó −1 < n − a < 1 ∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N. Nhu.ng bâ´t dă’ng thú.c n < a + 1, ∀ n > N là vô lý vı̀ tâ.p ho..p các sô´ tu.. nhiên không bi. chă.n. 2) Cách 1. Gia’ su’. dãy an hô.i tu. và có gió.i ha.n là a. Ta lâ´y lân  1 1 câ.n a − , a + cu’a diê’m a. Ta viê´t dãy dã cho du.ó.i da.ng: 2 2 {an } = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9) Chu.o.ng 7. Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 8  1 1 là bă`ng 1 nên hai diê’m −1 Vı̀ dô. dài cu’a khoa’ng a − , a + 2 2  1 1 ` ng thò.i thuô.c lân câ.n a − , a + cu’a diê’m a, và +1 không thê’ dô 2 2 ` u dó có nghı̃a là o’. ngoài và +1 bă`ng 2. Diê vı̀ khoa’ng giũ.a −1   cách 1 1 có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy và vı̀ thê´ (xem chú lân câ.n a − , a + 2 2 ý o’. trên) sô´ a không thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy. 1 Cách 2. Gia’ su’. an → a. Khi dó ∀ ε > 0 (lâ´y ε = ) ta có 2 1 |an − a| < ∀ n > N. 2 Vı̀ an = ±1 nên 1 |1 − a| < , 2 | − 1 − a| < 1 2 ⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| 6 |1 − a| + |a + 1| 6 ⇒2 < 1, 1 1 + =1 2 2 vô lý. 1 ` vó.i nó . Sô´ ha.ng kê 3) Lu.u ý ră`ng vó.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + 2m có sô´ hiê.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) và a2m+1 = −1 + 1 1 < 0 (hay a2m−1 = −1 + 6 0). 2m + 1 2m − 1 Tù. dó suy ră`ng |an − an−1 | > 1. ` u tù. sô´ hiê.u nào Nê´u sô´ a nào dó là gió.i ha.n cu’a dãy (an ) thı̀ bă´t dâ 1 dó (an ) tho’a mãn bâ´t dă’ng thú.c |an − a| < . Khi dó 2 1 1 |an − an+1 | 6 |an − a| + |an+1 − a| < + = 1. 2 2 ` nhau bâ´t kỳ cu’a dãy dã cho luôn luôn Nhu.ng hiê.u giũ.a hai sô´ ha.ng kê ` u mâu thu☠n này chú.ng to’ ră`ng không mô.t sô´ thu..c ló.n ho.n 1. Diê nào có thê’ là gió.i ha.n cu’a dãy dã cho. N