Nội dung

olympic to¸n tuæi th¬ toμN quèC 2014 - thcs ®Ò thi c¸ nh©n Thêi gian lμm bμi : 30 phót §Ò thi gåm 2 trang. Häc sinh kh«ng ®−îc sö dông m¸y tÝnh. Tõ c©u 1 ®Õn c©u 15 chØ viÕt ®¸p sè. C©u 16 viÕt lêi gi¶i ®Çy ®ñ ë mÆt sau Tê tr¶ lêi. C©u 1. T×m sè tù nhiªn n cã hai ch÷ sè sao cho 2n + 1 vµ 3n + 1 ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph−¬ng. C©u 2. T×m c¸c sè nguyªn x vµ y tháa m·n 6xy + 4x − 9y − 7 = 0. C©u 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x3 + y3 + xy, trong ®ã x, y lµ c¸c sè d−¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y = 1. C©u 4. T×m hai sè tËn cïng bªn ph¶i cña sè 10072014. C©u 5. H×nh bªn biÓu diÔn mét bµn trßn víi 8 ghÕ ®¸nh sè 1 thø tù tõ 1 ®Õn 8. Cã 2 sinh viªn ®−îc xÕp ngåi ®èi diÖn 8 2 nhau vµ ®Ó trèng c¸c ghÕ cßn l¹i. Hái tÊt c¶ cã bao nhiªu c¸ch xÕp? 7 3 4 6 5 C©u 6. Gi¶ sö x1, x2, x3 lµ ba nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x3 − x − 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 1 + x1 1 + x 2 1 + x 3 . T= + + 1 − x1 1 − x 2 1 − x 3 C©u 7. Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi K, L, M, N lµ c¸c ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho BK = KL = LM = MN = NC. Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm E sao cho AE = BK. TÝnh tæng c¸c n + ALE n + AME n + ANE n + ACE n. gãc AKE A B E K L M N D C©u 8. T×m c¸c sè nguyªn x, y tháa m·n 2x 2 + 1 x2 + y2 = 4 sao cho tÝch xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 4  −C l = 20o . Tia ph©n gi¸c C©u 9. Cho tam gi¸c ABC cã B n. trong cña gãc A c¾t c¹nh BC ë D. T×m sè ®o gãc ADC A B C©u 10. Cho tø gi¸c ABCD tháa m·n ®iÒu kiÖn C D l B  C l D l A l = = = . TÝnh sè ®o gãc B. 6 5 4 3 C C©u 11. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ E lµ ®iÓm trªn c¹nh AD 1 sao cho SABCD = 144 cm2 vµ SABE = SABCD . T×m ®é dµi 3 ®o¹n AE. A B E D C C©u 12. Trong h×nh vÏ bªn, mçi c¹nh cña h×nh vu«ng ®Òu ®−îc chia thµnh 3 ®o¹n b»ng nhau. TÝnh tØ sè gi÷a diÖn tÝch phÇn ®−îc t« ®Ëm víi diÖn tÝch h×nh vu«ng lín. C©u 13. H×nh vÏ bªn ®−îc t¹o bëi mét lôc gi¸c ®Òu A, mét h×nh vu«ng B vµ mét tam gi¸c ®Òu C. T×m sè ®o gãc x. x C A B C©u 14. Trong s¬ ®å bªn, c¸c sè ®−îc xÕp theo mét quy luËt. T×m sè x phï hîp víi quy luËt ®ã. 8 17 9 1 8 7 6 2 - - 4 - x C©u 15. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i C. KÎ trung tuyÕn CM  biÕt r»ng vµ ®−êng ph©n gi¸c trong AD. TÝnh sè ®o gãc B C D AD = 2CM. A C©u 16 (Tù luËn). Mét b¶ng h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 2013 cm, AD = 2014 cm. Mét con kiÕn xuÊt ph¸t tõ ®iÓm A, ®i theo ®−êng chÐo cña mçi « vu«ng (h×nh bªn). Hái r»ng sau khi ®i qua tÊt c¶ c¸c « vu«ng mµ mçi « vu«ng chØ ®i qua mét ®−êng chÐo th× con kiÕn cã thÓ ®Õn ®iÓm nµo trong ba ®iÓm B, C, D. D A Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. B M 1 cm C B olympic to¸n tuæi th¬ toμN quèC 2014 - thcs ®¸p ¸n ®Ò thi c¸ nh©n Tõ c©u 1 ®Õn c©u 15 mçi c©u 5 ®iÓm (thiÕu ®¬n vÞ vÉn cho ®iÓm tèi ®a) C©u 1. n = 40. C©u 2. x = 1; y = −1. C©u 3. min A = C©u 4. 49. C©u 5. 8. 1 1 khi x = y = . 2 2 C©u 6. T = −7. C©u 7. 45o. C©u 8. (x, y) = {(1; 2); (−1; −2)}. n = 100o. C©u 9. ADC  = 100o. C©u 10. B C©u 11. x = 8 cm. C©u 12. 1 . 9 C©u 13. 45o. C©u 14. x = 2.  = 36o. C©u 15. B C©u 16. LËp hÖ trôc täa ®é víi trôc hoµnh AB, trôc tung lµ AD. Khi ®ã A(0;0), B(2013;0), C(2013;2014), D(0;2014). Con kiÕn ®øng ë ®Ønh A, khi di chuyÓn theo ®−êng chÐo cña mét « vu«ng th× hoµnh ®é t¨ng (hoÆc gi¶m) ®i mét ®¬n vÞ vµ tung ®é t¨ng (hoÆc gi¶m) ®i mét ®¬n vÞ. Do ®ã täa ®é cña con kiÕn lu«n cã d¹ng (lÎ; lÎ) hoÆc (ch½n; ch½n). VËy cuèi cïng con kiÕn sÏ ®Õn ®Ønh D. - ý t−ëng vÒ täa ®é: 5 ®iÓm. - G¸n täa ®é cho c¸c ®Ønh A, B, C, D: 5 ®iÓm. - T¨ng gi¶m täa ®é: 5 ®iÓm. - Ph¸t hiÖn tÝnh ch½n lÎ: 5 ®iÓm. - KÕt luËn ®−îc ®Ønh D: 5 ®iÓm. Chó ý: Lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Tæng ®iÓm lµ 100. Kh«ng cho ®iÓm ph©n sè. olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 1 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: BiÕt r»ng T = 1,9565656... (viÕt liªn tôc hai ch÷ sè 56). a) TÝnh 1000T − 10T. a b) Tõ ®ã biÓu diÔn T d−íi d¹ng mét ph©n sè (a,b ∈ ]) . b §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 2 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: Cho ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 1. BiÕt EFC lµ tam gi¸c ®Òu vµ chiÒu dµi c¹nh AE lµ a. a) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c EBC theo a. a −1 . b) T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc a2 A E F D §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) B §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... C olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 3 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: a) Rót gän (m − 2)2 − m(m − 4). b) ¸p dông kÕt qu¶ c©u a) ®Ó tÝnh 20122 − 2014.2010. §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 4 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: a) BiÕt r»ng 2014a = 8,06 × 2005,94 + 8,062. T×m gi¸ trÞ cña a. b) BiÕt r»ng 81x2 − 108xy + 36y2 = 0. T×m gi¸ trÞ cña x . 6y §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 5 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: Ba dßng ®Çu cña mét d·y ®−îc cho nh− sau 1 2 − 02 = 1 + 0 = 1 2 2 − 12 = 2 + 1 = 3 3 2 − 22 = 3 + 2 = 5 a) H·y viÕt dßng thø m. b) Mét dßng ®−îc viÕt ra lµ p2 − q2 = p + q = r. T×m p nÕu r = 191. §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Tæng thêi gian lµm c¶ 6 bµi (mçi bµi 2 c©u) lµ 30 phót. bµi 6 Hä vµ tªn : ................................................................................................................... Sè b¸o danh : ............................................................................................................ §Ò bµi: Trong h×nh bªn cho DE // CA, FE // GA vµ M lµ trung ®iÓm cña DE. Cho BE = 12 cm, BG = 6 cm, DE = 10 cm vµ CA = 15 cm. a) T×m chiÒu dµi EA. b) T×m chiÒu dµi GD. §¸p sè: a) ……………….... b) ………………… B F G D M C Gi¸m kh¶o (KÝ vµ ghi râ hä tªn) §iÓm sè: a) ………………… b) ………………... E A olympic to¸n tuæi th¬ toμn quèc 2014 - thcs ®¸p ¸n ®Ò thi tiÕp søc ®ång ®éi Mçi c©u ®óng ®−îc 1 ®iÓm. Mçi bµi ®óng ®−îc 2 ®iÓm Bµi 1. a) 1937. 1937 b) T = . 990 1− a Bµi 2. a) . 2 −1 . b) 2 Bµi 3. a) 4. b) 4. Bµi 4. a) 8,06. 1 b) . 9 Bµi 5. a) m2 − (m − 1)2 = m + (m − 1) = 2m − 1. b) 96. Bµi 6. a) 6 cm. b) 2 cm.