Nội dung

Së gd®t qu¶ng b×nh TR¦êNG THPT Sè 1 Bè TR¹CH ------ S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM §Ò TµI øng dông tÝch ph©n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tæ hîp Gi¸o viªn thùc hiÖn: NguyÔn H÷u QuyÕt Tæ: To¸n N¨m häc: 2012-2013 Bố Trạch, tháng 4 năm 2013 Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................ 2 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 2 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2 3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2 NỘI DUNG.......................................................................................................... 3 1. Nhị thức Newton............................................................................................... 3 2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ................................................... 4 3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước .................................... 9 3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng ........................................................................................................................... 12 4. Bài tập đề nghị ............................................................................................... 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16 1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16 2. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................... 16 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20 1 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm được. Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình. - Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải đúng cho bài toán. Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. 2 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com NỘI DUNG 1. Nhị thức Newton Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực. n  a  b n  C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n  2b 2  ...  Cnn bn   Cnk a n  k b k k 0 Nhận xét: n - Trong khai triển  a  b  có n + 1 số hạng. n - Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển  a  b  bằng n. - Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: Ckn  Cnn  k k  , k  n  a  b n  Cnn a n  Cnn 1a n 1b  C2n a n  2b 2  ...  C0n b n - Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong n khai triển  a  b  là Ckn a n  k b k Chú ý: n 1)  a  b   C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n  2b 2  C3n a n 3b3  ...  (1) n Cnn bn 2) 2n  Cn0  C1n  Cn2  C3n  ...  Cnn 3) 0  C0n  C1n  Cn2  C3n  ...  (1)n Cnn 2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 1 1 1 1 Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1; ; ; ;...; ;... và 2 3 4 n mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp. Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển. Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận. Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng b k  a k , ta chọn cận từ a đến b, tức là b  f  x  dx a 3 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau: b 1)  1  x  n b   dx   C0n  C1n x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n dx a a b b  1  x n 1   x2 x3 x n 1     C0n x  C1n   Cn2  ...  Cnn  2 3 n  1   n  1    a a b 2)  1  x  n a b n dx   C0n  C1n x  C2n x 2  ...   1 Cnn x n dx   a b b 2 3 n 1   1  x  n 1   0 n n x 1 x 2 x   C n x  C n    Cn  ...   1 Cn  n 1  2 3 n  1    a a  b 3)   x  1 n b   dx   C0n x n  C1n x n 1  Cn2 x n 2  ...  Cnn dx a a b b   x  1n 1   x n 1  xn x n 1    C0n   C1n  Cn2  ...  Cnn  n n 1  n  1   n  1  a a 4) b b a a n n n 0 n 1 n 1 2 n 2   x  1 dx  Cn x  Cn x  Cn x  ...   1 Cn dx b b   x  1n 1   x n 1  xn x n 1 n   C0n   C1n  Cn2  ...   1 Cnn  n n 1  n  1   n  1  a a n n Ta sẽ gọi hàm số y   x  1 và y   x  1 là các hàm đa thức cơ bản. 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản Bài 1. Cho n  * . Tính tổng: S  C0n  22  1 1 23  1 2 2n 1  1 n Cn  Cn  ...  Cn 2 3 n 1 (ĐH Khối B-2003) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích 4 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số 2 nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng  1  x  n 2n 1  1 n 1 dx 1 Giải n Ta có 1  x   C0n  C1n x  C n2 x 2  C3n x 3  ...  Cnn x n 2 2 n   Suy ra  1  x  dx   C0n  C1n x  Cn2 x 2  C3n x 3  ...  Cnn x n dx 1 1 n 1 1 x   n 1 n 1  3 1 n 1 2 n 1 Vậy S  C0n  2 2  1 1 1    C0n x  C1n x 2  C2n x 3  ...  Cnn x n 1  2 3 n 1  1  C0n 22  1 1 23  1 2 2n 1  1 n Cn  Cn  ...  Cn  2 3 n 1 22  1 1 23  1 2 2n 1  1 n 3n 1  2n 1 Cn  Cn  ...  Cn  2 3 n 1 n 1 Bài 2. Cho n  * . Chứng minh rằng: C0n 1 1 1 2 1 2n 1  1 n  Cn  Cn  ...  Cn  2 3 n 1 n 1 (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. 1 Tổng không đan dấu, ta sử dụng  1  x  n dx 0 Giải n Xét 1  x   C0n  C1n x  C2n x 2  C3n x 3  ...  Cnn x n n 1 1 1 1  x  n 1  x dx     n 1 0 0 2n 1  1  n 1 1   Cn  Cn x  Cn x 0 1 2 2 (1)   C3n x 3  ...  Cnn x n dx 0 5 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 1 1 1 1     C0n x  C1n x 2  Cn2 x 3  ...  Cnn x n 1  2 3 n 1  0 1 1 1  C 0n  C1n  C 2n  ...  C nn 2 3 n 1 (2) 1 1 1 n 2n 1  1 Cn  Từ (1) và (2) suy ra C0n  C1n  Cn2  ...  2 3 n 1 n 1 Bài 3. Cho n  * . Chứng minh rằng: 1 1 1  n 1 n 2C0n  C1n 22  Cn2 23  ...   1 Cnn 2n 1  1   1   2 3 n 1 n 1 (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì 2n 1 số hạng cuối cùng có hệ số nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử n 1 2 dụng  1  x  n dx 0 Giải n n Xét 1  x   C 0n  C1n x  C 2n x 2  C3n x 3  ...   1 Cnn x n 2 2  1  x  0 n  1  x n 1  1  n   dx    1   1   n 1  n 1   0 2   Cn  C n x  C n x 0 1 2 2 n (3)   C3n x 3  ...   1 Cnn x n dx 0 2 1 1 n 1    C0n x  C1n x 2  C2n x 3  ...   1 Cnn x n 1  2 3 n 1  0 1 1 n 1  C0n 2  C1n 22  Cn2 23  ...   1 Cnn 2n 1 2 3 n 1 (4) Từ (3) và (4) suy ra 1 1 1  n 1 n 2C0n  C1n 22  Cn2 23  ...   1 Cnn 2n 1  1   1   2 3 n 1 n 1  6 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com * Bài 4. Cho n   . Chứng minh rằng: n 1 1 2 2 3 3 n n  n -1  2 + 1 C n + C n + C n + ...+ Cn= 2 3 4 n+1 n+1 Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số n nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để n 1 hạng cuối cùng có hệ số tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k  1  k Cn = 1 Cn , cho ta k+1  k+1  1 1 1 n 1 Cn  . tổng C1n +C n2 +C 3n +...+C nn -  C1n + C n2 + C 3n +...+ 3 4 n+1  2   2 n n Từ đó, ta sử dụng 2   1  x  dx 1 Giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k  1  k Cn =  1 Cn với k = 0, 1, 2,…,n. k+1  k+1  Do đó, 1 1 2 2 3 3 n n C n + C n + C n +...+ C n = C1n +C 2n +C 3n +...+C nn 2 3 4 n+1   -  12 C 1 1 2 1 3 n + C n + C n +...+ 3 4 1 n C n+1 n  n 2n+1 -1  n-1 2 +1 = = 2 -  1+x  dx=2 n+1 n+1 0 1 n n n n Cách 2: Xét 1+x  =C 0n +C1n x+C 2n x2 +C 3n x3 +...+C nn x n Lấy đạo hàm hai vế ta được: n 1+x  1 Ta có  nx 1+x  n-1 0 n-1 =C1n +2C 2n x+3C 3nx 2 +...+nC nn x n-1 1 1 0 0 n-1 n n-1 dx=   n 1+x-11+x  dx =n  1+x  - 1+x   dx     1  1+x n+1 1+x n   n-1 2n +1 (5) n n+1 n = n = 2 -1 2 -1 =     n+1  n  n+1  n+1 0 1   C n +2C nx+3C nx 1 0 2 3 2 1 2 3 n n +...+nC nn x n-1 dx= C1n + C 2n + C 3n +...+ Cn 2 3 4 n+1  7 (6) Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com n 1 1 2 2 3 3 n n  n -1  2 + 1 Từ (5) và (6) suy ra C n + C n + C n + ...+ Cn= 2 3 4 n+1 n+1 Bài 5. Cho n  * . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 5 1 2n 1 22n  1 C2n  C2n  C2n  ...  C2n  2 4 6 2n 2n  1 (ĐH khối A - 2007) Giải Xét các khai triển 2 2 2n 2n x  C32n x 3  ...  C2n x 1  x 2n  C02n  C12n x  C2n (7) 2 2 2n 2n x  C32n x3  ...  C2n x 1  x 2n  C0n  C12n x  C2n (8) Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được: 2n 1 2n 1 x 1  x 2n  1  x 2n  2  C12n x  C32n x 3  ...  C2n  2n 2n 1  x   1  x    2 1 Suy ra  1 2n 1  C12n x  C32n x 3  ...  C2n 2n x 1  x 2n  1  x 2n dx  1   C2n x  C2n x 2 0 1 3 3  2n 1 2n 1 x dx  ...  C2n 0 1 1  1  x 2n 1  1  x  2n 1  1 2n 1 2n  1 1 2 1 3 4      C2n x  C2n x  ...  C2n x    2(2n  1) 2 4 2n  0  0 1 1 1 3 1 5 1 2n 1 22n  1  C2n  C2n  C2n  ...  C2n  2 4 6 2n 2n  1 1 2 1 4 1 2n Nhận xét: Nếu phải tính tổng C 02n + C 2n + C 2n +...+ C 2n thì ta xét 3 5 2n+1 P x 1+x  = 2n 2n + 1-x  2n =C 02n +C 22n x2 +...+C 2n 2n x 2 1 Sau đó tính tích phân  P  x  dx . 0 Còn nếu phải tính tổng 1 0 1 2 1 4 1 C 2n + C 2n + C 2n +...+ C 2n 2n thì ta lại xét 2 4 6 2n+2 2n+1 Q  x  =x.P  x  =C 02n x+C 22n x 3 +...+C 2n 2n x 8 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com 1 Sau đó tính tích phân  Q  x  dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo. 0 Bài 6. Cho n  * . Chứng minh rằng: 2C02n 2 2 2 4 2 22n 1 2n C2n   C2n  C2n  ...  3 5 2n  1 2n  1 Giải Xét 1  x  2n 2n  C02n  C12n x  C22n x 2  C32n x 3  ...  C2n 2n x 1 1  1  x  1 2n  1  x  2n 1  22n 1   dx   n 1  2n  1  1 (9) 1 0 1 2  C2n  C2n x  C2n x 2 1 2n   C32n x 3  ...  C2n 2n x  dx 1 1 1 2 3 1 3 4 1  2n 2n 1  x  C2n x  ...  C2n x   C02n x  C12n x 2  C2n  2 3 4 2n  1   1 2 2 4 2 2n  2C02n  C22n  C2n  ...  C2n 3 5 2n  1 (10) 2 2 4 2 22n 1 2n Từ (9) và (10) suy ra 2C02n  C22n  C2n  ...  C2n  3 5 2n  1 2n  1 3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau. Bài 1. Cho 2  n   . 1  a) Tính I   x 2 1  x 3  n dx 0 1 0 1 1 1 2 1 2 n 1  1 n b) Chứng minh rằng: Cn  Cn  Cn  ...  Cn  3 6 9 3(n  1) 3(n  1) (ĐH Mở Hà Nội - 1999) Giải 9 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết