Nội dung

www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang Mục lục: ..............................................................................................................................................1 §Æt vÊn ®Ò .....................................................................................................................................3 Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.......................................................................................................................3 1. Cơ sở lý luận....................................................................................................................................3 2. Cơ sở thực tiễn.................................................................................................................................3 2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH........................4 2.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ..............................................................................................................................................................4 2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .................................4 2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành ...............................5 2.1.4. Diện tích hình tròn, hình elip.....................................................................................................9 2.1.4.1.Diện tích hình tròn...................................................................................................................9 2.1.4.2.Diện tích của elip.....................................................................................................................9 2.2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............................................10 2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.....................................................................10 2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số......................10 2.2.3.Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số........................................10 2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ............................................................14 3. Giải pháp thực hiện........................................................................................................................14 4. Kết quả thực nghiệm......................................................................................................................14 KẾT LUẬN .......................................................................................................................................15 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................................................16 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 www.VNMATH.com ĐẶT VẤN ĐỀ Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ,ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau: ­ Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ). ­ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật tròn xoay đang học. ­ Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu. ­ Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Do đó tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng” Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3 www.VNMATH.com GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận + Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì f ( x)  0 , x  a ; b  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì f ( x)  0 , x  a ; b + Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) và y  g (x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)g(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” đồ thị hàm số y=g(x) thì f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) thì f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b 2. Cơ sở thực tiễn: ­ Qua những bài toán tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách giáo khoa 12 cơ bản, tôi nhận thấy học sinh có thể không cần vẽ hình. Tuy nhiên nếu học sinh vẽ hình thì bài toán sẽ đực giải nhanh và trực quan hơn ­ Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc phải vẽ hình mới làm chính xác được.(Có trong các đề thi đại học cao đẳng) Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 4 www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a ; b . Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức: b S  f ( x ) dx (1) a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối. b b  Nếu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x) dx   f ( x)dx a a b b  Nếu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x) dx    f ( x) dx a a Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách làm như sau: -Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn a ; b ­Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó.  Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì f ( x)  0 , x  a ; b   Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì f ( x)  0 , x  a ; b b -Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có: S   f ( x) dx  a b  f ( x)dx a 2.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 0 Ví dụ 1: Tính I   2 x  4 dx 2 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4 x ­∞ f(x)=2x + 4 ­ Suy ra 2 x  4  0 , x  ­ 2;0 0 Do đó I   0 2 x  4 dx   (2 x  4)dx  ( x 2  4 x ) 2 2 ­2 0 0 2 0 +   +∞ +   0  (2) 2  4(2)  4 2 Ví dụ 2: K   x 2  3 x  2 dx 0 Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + 2, có a = 1 > 0; và x  1 x 2  3x  2  0   x  2 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 5 www.VNMATH.com x ­∞ +∞ 0 1 2 f(x)= x2 ­ 3x + 2 + 2 + 0 Suy ra f ( x)  0 , x  0;1 và f ( x)  0 , x  1;2 0 + 2 1 2 ­ Do đó: K   x  3 x  2 dx   ( x  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx 2 2 1 0 0 3 2 1 2 5 x x 3 3x 2 3x 1 (   2 x)  (   2 x) = ­ ( ) =1 0 1 6 3 2 3 2 6 2 1 2 Cách 2 K   x 2  3 x  2 dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx  1 0 0 5 1  1 6 6 2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2. y f x = x2 4 3 O -2 A x 1B Hình 1 Giải 2 Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là S   x 2 dx 0 Vì x 2  0 , x  0;2 2 2 S   x 2 dx   x 2 dx  ( 0 0 x 3 2 23 03 8 )    3 0 3 3 3 (đvdt) Cách 2: Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.(phần tô màu) Dựa vào đồ thị ta có: 2 S   x 2 dx  0 8 3 Bài toán 2 Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3. Hãy tính diện tích hình thang đó. Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 6 www.VNMATH.com y -2 -1 A O 1 2 3 B x f x  = -x-2 -4 Hình 2 Giải 3 Diện tích S của hình phẳng trên là S    x  2 dx 0 Từ hình vẽ, suy ra  x  2  0 , x  0;3 3 3 S    x  2 dx   ( x  2)dx  ( 0 0 3 32 02  9 x2 21  2 x)   2.3    2.0   6  0 2 2 2 2  2 (đvdt) Bài toán 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x)   x  2 , trục x 1 hoành và các đường thẳng x = ­1; x = 0. y f x = -x-2 x-1 x B -2 -1 A O 1 2 3 -4 Hình 3 Giải 0 Diện tích S của hình phẳng trên là S  Từ hình vẽ, suy ra 0 S 0  x2 dx x 1 1  x2  0 , x  ­ 1;0 x 1 0 0 x2  x2  ( x  1)  3 3 1 x  1 dx  1( x  1 )dx  1 x  1 )dx  1(1  x  1)dx  ( x  3 ln x  1 ) 0  (0  3 ln 1)  (1  3 ln 2)  0  3. ln 1  1  3 ln 2  3 ln 2  1 (đvdt) 1 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 7 www.VNMATH.com Ghi nhớ: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1, x2, …, x k thuộc (a; b) thì trên mỗi khoảng (a; x1 ), (x 1; x2), …, (xk; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi. b Khi đó để tính tích phân S   f ( x) dx ta có thể tính như sau: a x1 b \S   f ( x) dx  a x2 f ( x)dx   a  b f ( x) dx  ...  x1  f ( x)dx xk Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 ­ 3x2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12). y 4 f x =  x 3-3x2 +2 A -2 -1 O1 2 B x 3 (C) Hình 4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2. Giải Trục tung có phương trình x = 0 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức: 2 S   x 3  3x 2  2 dx 0 Cách 1 Dựa vào đồ thị, suy ra trên đoạn [ 0; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1. Hơn nữa x3 ­3x2 + 2 ≥ 0  x  [ 0; 1 ] và x3 ­3x2 + 2 ≤ 0 x [ 1; 2 ] 2 1 2 Do đó S   x 3  3x 2  2 dx   ( x 3  3x 2  2)dx   ( x 3  3x 2  2)dx 0 0 4 ( 1 4 1 2 1  24  x x 1  x 3  2 x)  (  x 3  2 x)   1  2  0    2 3  2.2  (  1  2)  0 1 4 4 4 4 4  1 1 5 1 4  8  4  1 2  4 4 2 Cách 2  (đvdt) 2 1 2 S   x 3  3 x 2  2 dx   ( x 3  3x 2  2)dx   ( x 3  3x 2  2)dx 0 4 ( 0 1 4 1 2 5 5 5 5 5 x x  x 3  2 x)  (  x 3  2 x)      0 1 4 4 4 4 4 4 2 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvdt) 8 www.VNMATH.com Bài toán 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = e. y Gi aoDiem f x = xln x  A O 3 1 x e Hình 5 Giải Trục tung có phương trình x = 0 Từ hình vẽ ta có: e Diện tích S cần tìm là S   x ln xdx 1 1  du  dx  u  ln x  x Đặt   2 dv  xdx v  x  2 e 2 e e e e x2 1 x2 e2 x 2 e e2 1 x (đvdt) Do đó S   x ln xdx  ln x   . d x  ln x   xdx    1 1 1 1 2 x 2 2 4 1 4 2 1 Bài toán 6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  3x  2 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3 y f x  = 4  x2-3x +2 (C) x -2 -1 O 1 2 Hình 6 Giải 3 Ta có S   x 2  3 x  2 dx 0 Vì x  3x  2  0 x   ;1  2; và x 2  3x  2  0  x  1;2 2 3 3 1 2 3 S   x 2  3 x  2 dx   x 2  3 x  2 dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx 0 0 0 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 2 9 www.VNMATH.com  5  1 5 11 (đvdt)    6 6 6 6 2.1.4.Diện tích hình tròn, hình elip: 2.1.4.1.Diện tích hình tròn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương x2 + y2 = r2 ( r > 0) Khi đó hình tròn đó có diện tích là: S  r 2 2 2 2 2 2 Giải: Ta có x  y  r  y   r  x y (P) 4 2 x -2 -r -1 O 2 1 r 3 -1 Hình 7 r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành. Với y ≥ 0 ta có: y  Và có diện tích S1  r r  r 2  x 2 dx  2  r 2  x 2 dx  r 0  .r 2 2 2 Do đó S  2 S1   .r 2.1.4.2.Diện tích của elip Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình: x2 y2  1 , 0  b  a a2 b2 y 4 b (P) x -a -2 -1 O 1 2 a r -1 -b Hình 8 Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: S  a.b Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvdt) 10