Nội dung

www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011 Thời gian làm bài: 180 phút. ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau : ⎧ x y +1 = (y + 1) x ⎪ ⎨ 2x 2 − 9x + 6 2 = y +1 ⎪ −4x + 18x − 20 + 2 2x − 9x + 8 ⎩ Bài 2: (4 điểm) Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt ( O1 ) và ( O2 ) lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường thẳng MC cắt ( O1 ) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt ( O2 ) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF . Bài 3: (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ a (b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abc Bài 4: (4 điểm) Cho đa thức P(x) = x 2012 − mx 2010 + m (m ≠ 0) . Giả sử P( x) có đủ 2012 nghiệm thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P( x) có ít nhất một nghiệm x 0 thoả mãn x 0 ≤ 2 . Bài 5: (4 điểm) Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y và x2 – 3xy + 2 y2 + x – y đều chia hết cho 17. Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17. HẾT www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011–2012 MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhì: 20 – 10 – 2011 Thời gian làm bài: 180 phút. ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm f : R → R thỏa mãn: f ( f ( x ) + y ) = f ( x 2 − y ) + 4yf ( x ) với ∀x, y ∈ R . Bài 2: (4 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: ab 2 bc 2 ca 2 a+b+c + 2 + 2 ≤ 2 2 2 2 2 2 2 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 4 Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên các cạnh AC và AB lần lượt lấy các điểm P và Q. Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm của BP, CQ và PQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R. Chứng minh rằng OR vuông góc với PQ. Bài 4: (4 điểm) 4 ⎧ ⎪⎪u1 = 5 Cho dãy số (un) định bởi ⎨ u 4n ⎪u n +1 = ∀n ∈ N* ⎪⎩ u 4n − 8u 2n + 8 Hãy lập công thức tính số hạng tổng quát un theo n. Bài 5: (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho: (ab)2 – 4(a + b) là bình phương của một số nguyên. HẾT