Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: VẬT LÍ Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 (Đề thi có 02 trang, gồm 05 câu) Câu 1. (4,5 điểm) Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ. Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định (trùng với trục ∆) đi qua điểm O. Trên Hình 1, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng. 1. Tìm vị trí khối tâm G của vật 1. ∆ O G 2. Giữ cho vật 1 luôn cố định rồi đặt trên nó vật 2 là một hình trụ g R rỗng, mỏng, đồng chất, cùng chiều dài với vật 1, bán kính r (r < R), β0 nằm dọc theo đường sinh của vật 1. Kéo vật 2 lệch ra khỏi vị trí cân A B bằng một góc nhỏ β0 rồi thả nhẹ. r G a) Tìm chu kì dao động nhỏ của vật 2. Biết rằng trong quá trình C dao động, vật 2 luôn lăn không trượt trên vật 1. Hình 1 b) Biết µ là hệ số ma sát nghỉ giữa vật 1 và vật 2. Tìm giá trị lớn ∆ nhất của góc β0 để trong quá trình dao động điều hoà, vật 2 không bị O G g R trượt trên vật 1. 3. Thay vật 2 bằng một vật nhỏ 3. Vật 3 nằm trong mặt phẳng A α0 α0 OAB. Kéo cho vật 1 và vật 3 lệch khỏi vị trí cân bằng sao cho G và B G vật 3 nằm về hai phía mặt phẳng thẳng đứng chứa ∆, với các góc lệch đều là α 0 như Hình 2, rồi thả nhẹ. Bỏ qua ma sát. Tìm khoảng thời m C gian nhỏ nhất để vật 3 đi tới C. Hình 2 Câu 2. (4,5 điểm) Một bình hình trụ chứa chất khí đơn nguyên tử, chiều dài L, diện tích đáy S, chuyển động dọc theo phương song song với trục của bình. Khối lượng khí trong bình là m. Ở thời điểm bình đang chuyển động với gia tốc a0 (a0 > 0), người ta bắt đầu làm cho gia tốc của bình giảm thật chậm tới giá a trị 0 . Coi khí trong bình là khí lí tưởng. Giả thiết ở mỗi thời điểm, các phần tử khí có gia tốc như 2 nhau và nhiệt độ đồng đều trong toàn khối khí. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. µa 0 L  1, trong đó µ là khối lượng mol 1. Cho rằng nhiệt độ của khí luôn là T không đổi và RT của chất khí, R là hằng số khí. Hãy tính: a) Áp suất do khí tác dụng lên mỗi đáy bình khi gia tốc của bình là a. b) Công do khối khí thực hiện trong quá trình giảm gia tốc trên. 2. Giả thiết bình hoàn toàn cách nhiệt và nhiệt độ khí thay đổi rất nhỏ trong quá trình giảm gia tốc. Biết nhiệt độ ban đầu của khối khí là T. Tìm độ biến thiên nhiệt độ của khối khí trong quá trình trên. 1 Câu 3. (3,5 điểm) Một tụ điện trụ dài L, bán kính các bản tụ tương ứng là r và R. Không ε1 gian giữa hai bản tụ được lấp đầy bởi hai lớp điện môi cứng, cùng chiều 2R 2r dày, có hằng số điện môi tương ứng là ε1 và ε2 (Hình 3). Lớp điện môi ε1 có thể kéo được ra khỏi tụ điện. Tụ điện được nối với hai cực của nguồn ε2 điện có hiệu điện thế U không đổi. Hình 3 Ở thời điểm t = 0, lớp điện môi ε1 bắt đầu được kéo ra khỏi tụ điện với tốc độ không đổi v. Giả thiết điện trường chỉ tập trung trong không gian giữa hai bản tụ, bỏ qua mọi L ma sát. Xét trong khoảng 0 < t < hãy: v 1. Viết biểu thức điện dung của tụ theo thời gian t. 2. Tính lực điện tác dụng lên lớp điện môi ε1 ở thời điểm t. 3. Xác định cường độ và chiều dòng điện qua nguồn. Câu 4. (4,5 điểm) Cho một thấu kính hội tụ lõm - lồi, bằng thuỷ tinh, chiết suất n = 1,5 như Hình 4. Mặt lõm có bán kính R1 = 5,5 cm và có đỉnh tại O1. Mặt lồi có bán kính R2 và đỉnh tại O2. Khoảng cách α O1O2 = 0,5 cm. Một điểm sáng S được đặt tại đúng tâm của mặt O1 O2 S lõm và chiếu một chùm tia có góc mở rộng vào mặt thấu kính. 1. Xét chùm sáng hình nón xuất phát từ S chiếu vào thấu kính với góc giữa đường sinh và trục hình nón là α =15o. Với giá Hình 4 trị R2 = 3 cm, hãy xác định vị trí điểm đầu và điểm cuối của dải các giao điểm của các phương tia sáng ló ra khỏi thấu kính và trục chính. 2. Tìm giá trị R2 sao cho chùm tia ló ra khỏi thấu kính là một chùm tia đồng quy, rộng. Câu 5. (3,0 điểm) Trong nguyên tử hiđrô lúc đầu có êlectron chuyển động tròn với bán kính quỹ đạo r = 2,12.10-10 m quanh hạt nhân dưới tác dụng của lực Culông. Ta chỉ sử dụng các định luật vật lí cổ điển để nghiên cứu chuyển động của êlectron trong nguyên tử. Theo đó, khi êlectron chuyển động 2ke 2 2 với gia tốc a thì nguyên tử sẽ bức xạ điện từ với công suất P = a (trong đó c = 3.108 m/s; 3c3 e = 1,6.10-19 C; k = 9.109 Nm2/C2). Coi gia tốc toàn phần a của êlectron là gia tốc hướng tâm. Hãy tính thời gian cần thiết để bán kính quỹ đạo giảm đến r0 = 0,53.10-10 m và ước tính trong thời gian đó êlectron chuyển động trên quỹ đạo được bao nhiêu vòng. • • ----------------------------HẾT--------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: VẬT LÍ Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 (Gồm 04 trang) Câu 1. (4,5 điểm) 1. Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy (xem hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ yG = OG của vật. 2m O G Mật độ khối lượng ρ = . g πR dα 2m 2m Xét phần tử dài dA , có khối lượng dm = ρdA = dA = dα . B A πR π Theo công thức tính tọa độ khối tâm : G π dA 4 1 2m 2 2R 2 2R y yG = R cos α dα = . Vậy OG = ∫ π m −π π π 4 Chú ý: có thể dùng phương pháp năng lượng để tính OG 2. Xét vật 2 ở vị trí ứng với góc lệch β. Gọi ϕ là góc mà vật 2 tự quay quanh mình nó. Chọn chiều dương tất cả các chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Lực tác dụng lên vật 2 gồm: trọng lực, phản lực, lực ma sát nghỉ. Phương trình chuyển động của khối tâm vật 2 xét theo phương tiếp O tuyến với quỹ đạo: m 2 a = Fms − m 2 g sin β Vì β nhỏ sin β ≈ β (rad) ⇒ m 2 (R − r)β′′ = Fms − m 2 gβ (1) β G Phương trình chuyển độngquay của khối trụ nhỏ quanh khối tâm: A N B G (2) m 2 r 2 ϕ′′ = Fms r Fms Điều kiện lăn không trượt: (R − r)β′ = − rϕ′ ⇒ (R − r)β′′ = − rϕ′′ (3) C G g P Thay (2) và (3) vào (1) ta được: β′′ + β=0 (4) 2(R − r) Phương trình (4) biểu diễn dao động điều hòa với chu kì T = 2π Từ (2) ⇒ Fms = m 2 rϕ′′ = − m 2 (R − r)β′′ = m 2 (R − r)ω2β = 1 m 2 gβ 2 2(R − r) g (5) ⎛ β2 ⎞ Phản lực N = m 2 gcosβ = m 2g ⎜1- ⎟ (6) ⎝ 2⎠ F Điều kiện lăn không trượt: ms ≤ μ với mọi β (7) N F β Thay (5) và (6) vào (7) ta có ms = f (β) = ≤ μ ∀ 0 ≤ β ≤ β0 N 2 − β2 1⎛ 1 1⎞ Bất phương trình trên cho nghiệm β0 ≤ ⎜⎜ 8 + 2 − ⎟⎟ . 2⎝ μ μ⎠ Cần chú ý : để có kết quả này cần có thêm điều kiện giới hạn về β0 để sin β0  β0 (rad). 3. Xét tại thời điểm khối tâm vật 1 và vật 3 có li độ góc tương ứng là α, θ. Phương trình chuyển động của vật 3 theo phương tiếp tuyến với hình trụ: m3 Rθ '' = − m3gθ (1) 1 G g g . Nghiệm là: θ = θ0 cosω0 t = α 0 cosω0 t, với ω0 = R O Phương trình quay của G quanh O: m1R 2 α′′ = − m1g 2 2R α π Nghiệm phương trình này: α = α 0 cosω1t, với ω1 = 2 2g πR A (2) Gα (3) θ G N B C G G N' ⎛ ω1 − ω0 ⎞ ⎛ ω1 + ω0 ⎞ G P Góc lệch của vật 3 so với phương OG là: γ = α − θ = 2α 0 cos ⎜ t ⎟ cos ⎜ t⎟ 3 P 2 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π Khi vật 3 tới C thì γ = 0. Suy ra t min = ω1 + ω0 Câu 2. (4,5 điểm) 1. Đặt trục toạ độ Ox dọc theo trục bình, chiều dương cùng chiều chuyển động của bình. Xét một lớp khí mỏng khối lượng dm, chiều dày dx, ở cách đáy bình một đoạn x. Trong hệ quy chiếu gắn với Trái Đất, lớp khí này chuyển động cùng bình với gia tốc a và chịu tác dụng của hai lực theo phương Ox là p(x)S và -p(x+dx)S Theo ĐL II Niutơn ta có: ⎡⎣ p ( x ) − p ( x + dx ) ⎤⎦ S = dm.a hay −dp.S = dm.a (1) Mặt khác, phương trình trạng thái với lớp khí là p (x )Sdx = dm RT μ (2) μa x RT ⎛ μa ⎞  p (0) ⎜1 − x⎟ (3) ⎝ RT ⎠ Để tìm p(0), ta dùng định luật bảo toàn khối lượng. Từ (2) và (3) tính dm, sau đó tích phân, tính được: L p(0)Sμ L ⎛ p(0)Sμ ⎛ μa ⎞ μaL2 ⎞ m = ∫ dm = x ⎟ dx = ⎜L− ⎟ ⎜1 − RT ∫0 ⎝ RT ⎠ RT ⎝ 2RT ⎠ 0 Từ (1) và (2) tìm được: p(x) = p(0) e − mRT mRT ⎛ μaL ⎞  ⎜1 + ⎟ ⎛ μaL ⎞ SμL ⎝ 2RT ⎠ SμL ⎜ 1 − ⎟ ⎝ 2RT ⎠ mRT ⎛ μaL ⎞ ⎛ μaL ⎞ mRT ⎛ μaL ⎞ p (L) = ⎟. ⎜1 + ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − SμL ⎝ 2RT ⎠ ⎝ RT ⎠ SμL ⎝ 2RT ⎠ 2. Xác định vị trí khối tâm chất khí: L L ⎛ L μaL2 ⎞ ⎛ μaL ⎞ 1 1 p(0)Sμ ⎛ μa ⎞ ⎛ 1 μaL ⎞ x G = ∫ xdm = ∫ x ⎜1 − x ⎟ dx = ⎜ − ⎟ ⎜1 + ⎟. ⎟  L⎜ − m0 m 0 RT ⎝ RT ⎠ ⎝ 2 12RT ⎠ ⎝ 2 3RT ⎠ ⎝ 2RT ⎠ Vậy: p(0) = μL2 da. 12RT Trong hệ quy chiếu gắn với vỏ bình, công nguyên tố do lực quán tính thực hiện lên khối khí là Khi gia tốc thay đổi một lượng da, khối tâm dịch chuyển một khoảng dx G = − δA = Fdx G = ma a0 2 mμL2 mμL2 2 μL ada = − a0 da ⇒ A = ∫ 12RT 32RT 12RT a0 2 Công do khí thực hiện: A ' = − A = 3. mμL2 2 a0 32RT Áp dụng nguyên lý I NĐLH cho cả khối khí, ΔU = A ⇒ Do đó, ΔT = − m 3R mμL2 2 ΔT = − a0 μ 2 32RT μ 2 L2 2 a0 48R 2 T 2 Câu 3. (3,5 điểm) 1. Khi một phần lớp điện môi ε1 với chiều dài x được rút ra khỏi tụ điện, phần còn lại trong tụ điện có chiều dài L - x. Lúc này, tụ điện có thể coi như hệ gồm hai tụ điện mắc song song. Tụ điện thứ nhất có chiều dài x, có lớp điện môi là không khí có ε = 1 và lớp điện môi ε2: 2πε 0 C1 = x = Ax R+r 1 2R ln + ln 2r ε2 R + r Tụ điện thứ hai có chiều dài L - x, có lớp điện môi ε1 và lớp điện môi ε2: 2πε 0 C2 = (L − x) = B(L − x) 1 R+r 1 2R ln + ln ε1 2r ε2 R + r Điện dung tương đương C = C1+C2 = Ax+B(L-x) = BL+(A-B)x = BL + (A-B)vt Vì B > A nên A-B < 0 và điện dung của tụ điện giảm dần đều theo thời gian. 2. Vì tụ điện được nối với nguồn nên hiệu điện thế giữa hai bản là U không đổi. Khi lớp điện môi được kéo ra khỏi tụ điện một đoạn x = vt, năng lượng của tụ điện thay đổi. Công của ngoại lực F và công của nguồn điện bằng biến thiên năng lượng W của tụ điện Fdx + Udq = dW 1 1 1 1 Do đó Fdx = U 2 dC − Udq = − U 2 dC = − U 2 (A − B)dx và F = − (A − B) U 2 2 2 2 2 1 Lực điện Fd trái chiều với ngoại lực F nên Fd = (A − B)U 2 < 0. Lực điện tác dụng lên tấm điện môi 2 hướng vào trong lòng tụ điện 3. Chọn chiều dương của dòng điện là chiều dòng điện tích điện cho tụ điện, ta có dq UdC i= = = U(A − B)v < 0 tụ điện phóng điện qua nguồn. dt dt Câu 4. (4,5 điểm) Gọi C1, O1; C2, O2 là tâm và đỉnh của các mặt cầu tương ứng. Đường thẳng O1O2 là trục chính của thấu kính. Do thấu kính hội tụ nên R1 > R2 và C2 nằm trong khoảng C1O1. Xét một tia sáng bất kỳ phát ra từ S và làm với trục chính góc α . Do nguồn sáng S đặt tại tâm của mặt lõm nên tia sáng này sẽ truyền thẳng đến điểm I trên mặt cầu lồi rồi khúc xạ đi ra ngoài. Đường kéo dài của tia ló cắt trục chính tại S’; S’ là ảnh của S qua thấu kính. Gọi i và r là góc tới và góc khúc xạ tại I: sinr = n sini. Đặt SC2 = x và S’C2 = y. 1. Với các thông số đã cho, dễ dàng chứng minh I r được rằng tam giác SC2I cân và i = α . Vì vậy, b a sin r sin r i γ α ϕ theo định luật khúc xạ = =n. sin i sin α S’ S x C2 O1 O2 Ta có: γ = 1800 − r − ϕ = α + i − r = 2α − r y Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác S’C2I : R s in r R 2 s in r nR 2 nR 2 y= 2 = = = sin γ sin(2α − r) sin 2α cos r − sin r cos 2α sin 2α cos r − n cos 2α sin α sin α sin α 2 * Thay α = 150 ta tính được r = 22,840 , y1 = 9,35 cm nR 2 * Thay α ≈ 00 ta tính được r ≈ 00 , y 2 = = 9 cm 2−n Vậy dải điểm ảnh nằm trên trục chính, ở bên trái C2, và có bề rộng Δy = y1 − y 2 = 0,35cm. sin i sin ϕ Đối với tam giác SC2I ta có: với a = SI. = x a sin r sin ϕ x sin r a nx a = với b = S’I ⇒ = ⇒ = . Đối với tam giác S’C2I ta có: y b y sin i b y b 3 Mặt khác xét hai tam giác SC2I và S’C2I ta có: a = R 22 + x 2 + 2R 2 xcosϕ b = R 22 + x 2 + 2R 2 ycosϕ Từ các biểu thức trên ta có: n 2 x 2 R 22 + x 2 + 2R 2 xcosϕ = 2 ⇒ n 2 x 2 (R 22 + y 2 ) − y 2 (R 22 + x 2 ) + 2R 2 xy(n 2 x − y)cosϕ = 0 2 2 y R 2 + y + 2R 2 ycosϕ Để các tia tới (góc ϕ khác nhau) đều có đường kéo dài của tia khúc xạ đều đi qua S’ thì n 2 x = y Thay vào phương trình trên ta có R2 = nx n Mặt khác C2 O 2 = SO 2 - SC2 = SO1 + O1O 2 - SC2 ⇒ R 2 = (R 1 + O1O 2 ) = 3, 6cm. n +1 Câu 5. (3,0 điểm) 2ke2 2 dW 2ke2 2 = − P = − a (1) Sử dụng điều kiện P = a ta có: 3c3 dt 3c3 Vì êlectron chuyển động tròn với bán kính quỹ đạo r nên chịu lực hướng tâm là lực Culông. Theo ke2 v2 (2) phương trình ĐL II Niutơn: Fht = 2 = m r r Năng lượng toàn phần và gia tốc của êlectron là: 1 ke2 ke2 ke 2 ke2 W = mv 2 − = − =− (3) 2 r 2r r 2r ke2 a = a ht = 2 (4) mr 2 ke 2 dr 2ke 2 ⎛ ke 2 ⎞ 3m 2 r 2 c3 Thay (2),(3),(4) vào (1) ta có: 2 = − 3 ⎜ 2 ⎟ ⇒ dt = − dr 2r dt 3c ⎝ mr ⎠ 4k 2 e 4 Với r = R tại thời điểm t = 0. Thời gian mà tại đó r = R0 là: R0 3m 2 c3 2 m 2 c3 t =−∫ r dr = R 3 − R 30 ) , thay số tính được: t = 10-9s 2 4 2 4 ( 4k e 4k e R (5) 2π 2πr mr 2π πr mr T = = =0,153.10-15 s. = =1,22.10-15 s; T ' = ω ' 4e k ω e k 8 2t Số vòng quay trên quỹ đạo của êlectron là: N = ≈ 106 vòng./. ' T+T Ta có: T = ----------------------------HẾT--------------------------- 4