Nội dung

CHƯƠNG 1: ÔN TẬP 1.1. Trung bình mẫu – Phương sai mẫu 1.1.1. Trung bình mẫu Trong phân tích dữ liệu, cũng như trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường nói đến chiều cao trung bình, thu nhập trung bình, vân vân. Đó chính là trung bình mẫu. Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1: Bảng quan sát nhiệt độ ở Đà Lạt Thứ 2 Thứ 3 Thứ 4 Thứ 5 (x1) (x2) (x3) (x4) 19o 21o 20o 18o ⇒ x = 1 (19 + 21 + 20 + 18) = 19.5 o 4 Một cách khái quát, trung bình mẫu được tính bằng công thức sau: x= 1 (x1 + x2 + x3 + ...... + xN ) N 1 N Hay: x = xn N∑ n =1 1.1.2. Phương sai mẫu Phương sai mẫu [ký hiệu s X2 ] bằng trung bình của tổng bình phương độ lệch giữa giá trị quan sát so với giá trị trung bình: s X2 = ( ) ( ) ( Hay: s X2 = 1 N xn − x N∑ n =1 ( ) ) 2 2 2 1⎡ + x 2 − x + ...... xN − x ⎤ x 1− x ⎥⎦ N ⎢⎣ 2 Chẳng hạn, về trung bình mà nói thì khí hậu ở sa mạc rất nóng. Hơn nữa nhiệt độ giao động rất lớn giữa ngày và đêm. Để thể hiện được sự khắc nghiệt của khí hậu sa mạc, chúng ta không những chỉ sử dụng trung bình (mẫu) về nhiệt độ, mà cả sự giao 1 động của nhiệt độ theo từng thời điểm so với trung bình. Đó chính là khái niệm về phương sai mẫu nói trên. 1.2. Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất 1.2.1. Tần suất và xác suất Để có sự hình dung về tần suất, hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2: Xếp hạng tốc độ gia tăng giá cổ phiếu trên thị trường chứng khoán Việt Nam. Gọi X là tỉ lệ phần trăm mức tăng giá cổ phiếu trung bình trong 3 tháng đầu tiên sau khi “lên sàn”; gọi P là phần trăm các công ty có mức tăng giá cổ phiếu tương ứng với giá trị của X X 50% 40% 30% 20% (x1) (x2) (x3) (x4) Y 10% 20% 35% 25% Con số P= 10%, X= 50% có nghĩa là có 10% trong tổng số các công ty có mức tăng giá trong 3 tháng đầu sau khi phát hành cổ phiếu ra công chúng là 50%. Đó chính là ví dụ về tần suất Ví dụ 1.3: Trò chơi tung đồng xu. Giả sử bạn tham gia cuộc chơi tung đồng xu tại hội chợ. Nếu là mặt sấp, bạn sẽ được $100. Ngược lại, nếu là mặt ngửa, bạn được $0. Với thể lệ đó, bạn sẵn sàng trả bao nhiêu đôla để tham gia trò chơi? Để cho tiện, hãy kí hiệu mặt sấp là 1, mặt ngửa là 0. Giả sử kết quả tung xu sau 10 lần là như sau: X 1 0 P 3/10 7/10 Con số 3/10 chính là tần suất xuất hiện mặt sấp (X = 1). Nghĩa là, trong 10 lần tung xu, có 3 lần xuất hiện mặt sấp. Và do đó, có 7 lần xuất hiện mặt ngửa. Số tiền bạn bỏ ra cho việc tham dự 10 lần tung xu là: $50 x 10 = $500. Số tiền nhận được trong cuộc chơi: $100 x 3 + $0 x 7 = $300. 2 Æ Do vậy, cuộc chơi không hứng thú đối với bạn ($500 > $300). Tuy nhiên, nếu giả sử rằng bạn tham dự cuộc chơi vô hạn lần. Khi đó, số lần xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa là như nhau, và bằng ½. Khi đó, kỳ vọng đượccuộc sẽ là: $100x1/2 + $0x1/2 = $50; và bằng chính số tiền lớn nhất bạn sẵn sàng trả để tham dự cuộc chơi. Điều chúng ta cần phân biệt là con số P = 3/10 trong ví dụ nêu trên là tần suất xuất hiện mặt sấp trong 10 lần thử. Và con số ½ là xác suất xuất hiện mặt sấp (hoặc ngửa). Khái niệm tần suất ứng với từng mẫu thử; còn xác suất tương ứng với tổng thể. 1.2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục 2.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc: Một biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được, nghĩa là có thể liệt kê được tất cả các giá trị có thể có của nó. Cuộc chơi tung xu nêu trên là ví dụ về biến ngẫu nhiên rời rạc. Một cách hình thức hóa, ta có thể nói như sau. Giả sử đối tượng quan sát X có thể xuất hiện trong K sự kiện khác nhau [trong ví dụ tung xu, K = 2]. Ta ký hiệu các sự kiện đó là x1 , x2 ,..., x K . Tần suất xuất hiện một biến cố x k trong N phép thử, ký hiệu là p k , là tỉ số giữa số lần xuất hiện biến cố cụ thể đó so với N phép thử được thực hiện. Với mọi chỉ số, k = 1,2,3,..., K , ta có thể viết như sau: X P x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xK pK p1, p2, p3,… pK > 0, và p1 + p2 + p3 + …… + pK = 1, hay cũng vậy, K ∑p k =1 k =1 Nếu số mẫu N là đủ lớn (tiến đến vô hạn), khái niệm tần suất xuất hiện một biến cố được thay bằng khái niệm xác suất xuất hiện biến cố, ký hiệu bởi: f k = f ( x k ), k = 1,2,.., K . Trong đó, f ( x k ) là hàm mật độ xác suất của x k , k = 1,2...K . 3 Ta cũng có, f1, f2, f3,… fK > 0, và K ∑f k =1 k =1 2.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục Một biến ngẫu nhiên là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lắp đầy một khỏang trên trục số, nghĩa là không thể liệt kê và đếm được tất cả các giá trị có thể có của nó. Tương tự với trường hợp phân bố xác suất rời rạc, nếu gọi X là một biến ngẫu nhiên liên tục; và f(x) là hàm mật độ xác suất của X. Khi đó: f ( x) ≥ 0 ∫ +∞ −∞ f ( x)dx = 1 Ta định nghĩa hàm phân bố xác suất của X là: F ( x) = ∫ x −∞ f (t )dt Điều đó có nghĩa là, xác suất của biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [a, b] sẽ là: b P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a Ví dụ, trong phân bố chuẩn, về đồ thị ta có thể biểu diễn công thức tính xác suất này như sau: Đồ thị 1.1: Phân bố xác suất 4 Phần tô đậm chính là xác suất P ( a ≤ X ≤ b) , được tính bởi tích phân: ∫ b a f ( x)dx = F (b) − F (a) . 1.3. Phân bố xác suất đồng thời Nhiều khi chúng ta muốn đưa ra một đánh giá xác suất đồng thời cho một số biến lượng ngẫu nhiên. Ví dụ, bảng thống kê có ghi lại dữ kiện về thất nghiệp (u) và lạm phát (п). Cả hai biến lượng này đều là biến ngẫu nhiên, rất nhiều khả năng là chính phủ muốn hỏi những nhà kinh tế câu hỏi sau đây: “Liệu khả năng lạm phát thấp hơn 8% và mức độ thất nghiệp nhỏ hơn 6% vào năm sau là bao nhiêu?”. Điều đó có nghĩa là, ta cần phải xác định xác suất đồng thời: P (п < 8, u < 6) = ? Để trả lời được những câu hỏi như vậy, chúng ta cần phải xác định hàm mật độ xác suất đồng thời [joint probability density function]. 1.3.1. Hàm mật độ xác suất đồng thời Định nghĩa: Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên. Hàm mật độ xác suất đồng thời của x và y là: f ( x, y) = P( X = x, Y = y) Hàm số đó cần thỏa mãn điều kiện: f ( x, y ) ≥ 0 , và ∑ ∑ f ( x, y ) = 1 ∫ ∫ f ( x, y )dy.dx x y x y nếu X, Y rời rạc nếu X, Y liên tục Khi đó, P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ) = ∑ ∑ f ( x, y) , nếu X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc, và a ≤ x ≤b c ≤ y ≤ d 5 P(a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ) = ∫a ⎡⎢ ∫c f ( x, y )dy ⎤⎥ dx , nếu X,Y là biến ngẫu nhiên liên b d ⎣ ⎦ tục. 1.3.2. Hàm phân bố xác suất đồng thời F(x,y) Tương tự như trường hợp biến ngẫu nhiên một biến, ta đưa ra định nghĩa sau về hàm phân bố xác suất đồng thời: Định nghĩa: Gọi F(x,y) là hàm phân bố xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên x và y. Khi đó: F ( x, y ) = Pr ob( X ≤ x, Y ≤ y ) = ∑ ∑ f ( x, y ) , nếu X, Y rời rạc X ≤xY ≤ y x y F ( x, y ) = Pr ob( X ≤ x, Y ≤ y ) = ∫−∞ ∫−∞ f (t , s ) ds.dt , nếu X, Y liên tục 1.3.3. Phân phối xác suất cận biên Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 4: Xét một tổng thể, gồm có 1000 người. [Vì vậy ta nói về mật độ xác suất chứ không phải là tần suất]. Giả sử họ được phân loại theo 2 tiêu chuẩn: Theo giới tính: G = 1 nếu người đó là nam G = 0 nếu người đó là nữ Và theo trình độ học vấn: D = 0 học xong trung học D = 1 học xong đại học D = 2 học xong cao học Giả sử kết quả thống kê trên tổng thể 1000 người đó là như sau: 6 Trung học Nam 200 Nữ 270 Học vị (tổng số) 470 Đại học Cao học Giới tính(tổng số) 300 60 560 100 70 440 400 130 1000 Dựa trên bảng thống kê này, chúng ta có thể thấy xác suất 1 cá nhân là nữ, học xong đại học: f(0,1)= 100/1000 = 0.1. Một cách khái quát, chúng ta có thể viết hàm mật độ xác suất đồng thời f (G , D ) như sau: G 1 2 0.2 0.27 0.3 0.1 0.06 0.07 0.56 0.44 0 1 2 D Tổng Tổng 0.47 0.40 0.13 1 Bảng phân bố xác suất trên cho thấy, xác suất một cá nhân là nam trong tổng thể những người có học là: Prob(G=1) = 0.56. Tương tự, xác suất một cá nhân là nữ: Prob(G=0) = 440/1000 = 0.44. Như vậy, ta có thể lập một biến ngẫu nhiên, thể hiện phân bố mật độ xác suất theo giới tính của tổng thể: G 1 0 f(g) 0.56 0.44 Hàm f(G) được gọi là hàm mật độ xác suất cận biên. Hàm mật độ này được tính bằng cách cộng dồn theo cột qua tất cả mọi trình độ học vấn: f ( g ) = ∑ f ( g, d ) , g = 0,1,2 . Tức là: d ⎧ f G (1) = ∑ f (1, d ) = 0.56 ⎪ d ⎨ f (0, d ) = 0.44 ⎪⎩ f G (0) = ∑ d Tương tự như vậy, ta cũng có thể tính được hàm mật độ xác suất cận biên theo học vấn: 7 f D (d ) = ∑g f ( g , d ) d = 0,1,2 Hay cũng vậy, ⎧ f D (0) = ∑g f ( g ,0) = 0.47 ⎪⎪ ⎨ f D (1) = ∑ g f ( g ,1) = 0.4 ⎪ ⎪⎩ f D (2) = ∑g f ( g ,2) = 0.13 Một cách tổng quát, gọi f(x,y) là hàm mật độ xác suất đồng thời của X và Y. Khi đó, hàm mật độ xác suất cận biên của X được xác định như sau: f X ( x ) = ∑ y f ( x, y ) nếu X rời rạc f X ( x ) = ∫y f ( x, y )dy nếu X liên tục Tương tự, ta xác định f Y ( y ) 1.3.4. Các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa: Hai biến ngẫu nhiên là độc lập khi và chỉ khi: f ( x, y ) = f X ( x) ⋅ f Y ( y ) ↔ F ( x, y ) = FX ( x) ⋅ FY ( y ) ↔ Pr ob ( X ≤ x, Y ≤ y ) = Pr ob ( X ≤ x) ⋅ Pr ob (Y ≤ y ) 1.4. Kỳ vọng – Phương sai 1.4.1. Khái niệm về Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên: Gọi X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận một trong các giá trị có thể có x1, x2, x3,… xK với xác suất tương ứng f1, f2, f3,… fK. Giá trị kỳ vọng của X được định nghĩa như sau: E ( X ) = x1 f 1 + x 2 f 2 + x3 f 3 + ...... + xKfK , hay cũng vậy: K E ( X ) = ∑ xkfk k =1 8 Tương tự, đối với biến ngẫu nhiên liên tục, giá trị kỳ vọng được định nghĩa như sau: +∞ E ( X ) = ∫−∞ x ⋅ f ( x)dx Các tính chất của kỳ vọng: 1. E(a) = a , với a là hằng số 2. E (a + bX ) = a + bE( X ) 3. E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) Định lý 1.1: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất f(x) và g(X) là một hàm liên tục của X. Khi đó: E [g ( X )] = ∑ g ( x ) f k k k +∞ E [g ( X )] = ∫−∞ g ( X ) f ( x)dx nếu X rời rạc nếu X liên tục 1.4.2. Phương sai Gọi X là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng EX. Để đo lường sự tán xạ của X so với giá trị trung bình (hay kỳ vọng) của nó, ta sử dụng phương sai, ký hiệu Var(X), được định nghĩa như sau: Var ( X ) = σ x2 = E ( X − E ( X ) )2 Với độ lệch chuẩn: σ x = σ x2 Sử dụng Định lý 1.1, phương sai của X được tính như sau: Var ( X ) = ∑ ( x − EX ) 2 f k k k +∞ Var ( X ) = ∫−∞ ( X − E ( X ) )2 f ( x)dx nếu X rời rạc nếu X liên tục Các tính chất của phương sai: 1. VarX = E ( X − E ( X ) )2 = E ( X 2 ) − (E ( X ) )2 9 2. Var(a) = 0 , với a là hằng số 3. Var (a + bX ) = b 2 ⋅ Var ( X ) Var( X + Y ) = Var( X ) + Var(Y ) 4. Var ( X − Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) 5. Var ( X − E ( X ) ) = Var ( X ) 1.5. Hàm phân phối chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (− ∞,+∞ ) có phân phối chuẩn với các tham số của nó có dạng: μ và σ 2 , ký hiệu là: X ( ) ~ N μ , σ 2 , nếu hàm mật độ xác suất − 1 f ( x) = ⋅e σ 2Π ( x − μ )2 2σ 2 với μ = E ( X ) và σ 2 = Var ( X ) Đồ thị 1.2: Hàm phân phối chuẩn ( ) Định lý 1.2: Giả sử X là biến ngẫu nhiên với phân bố chuẩn: X ~ N μ , σ 2 . Gọi Z = (a + bx) là một biến đổi tuyến tính của X. Khi đó, Z cũng là hàm phân bố chuẩn: Z ~ N ( a + bμ , b 2σ 2 ) . Hệ quả: Đặt Z = x−μ σ . Khi đó, Z ~ N (0,1) Địnhlý 1.3: Cho trước chuỗi các biến ngẫu nhiên: ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ∼ N Khi đó, tổ hợp tuyến tính của chúng, cũng có phân bố chuẩn: c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn ∼ N (∑ μ n , ∑ cn2σ n2 ) 10 (μ ,σ ) n 2 n