Nội dung

Bïi TuÊn Khang • Hµm BiÕn Phøc • Ph−¬ng Tr×nh VËt Lý - To¸n §¹i häc §µ n½ng 2004 Lêi nãi ®Çu Gi¸o tr×nh nµy ®−îc biªn so¹n nh»m trang bÞ c¸c tri thøc to¸n häc cèt yÕu ®Ó lµm c«ng cô häc tËp vµ nghiªn cøu c¸c m«n häc chuyªn ngµnh cho sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt thuéc §¹i häc §µ n½ng. Néi dung gi¸o tr×nh gåm cã 8 ch−¬ng víi thêi l−îng 60 tiÕt (4 ®¬n vÞ häc tr×nh) ®−îc chia lµm hai chuyªn ®Ò nhá. Chuyªn ®Ò Hµm biÕn phøc gåm 5 ch−¬ng Ch−¬ng 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ sè phøc, dAy trÞ phøc, hµm trÞ phøc vµ c¸c tËp con cña tËp sè phøc. Ch−¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ hµm trÞ phøc, ®¹o hµm phøc, c¸c hµm gi¶i tÝch s¬ cÊp vµ phÐp biÕn h×nh b¶o gi¸c. Ch−¬ng 3 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ tÝch ph©n phøc, ®Þnh lý tÝch ph©n Cauchy vµ c¸c hÖ qu¶ cña nã. Ch−¬ng 4 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ chuçi hµm phøc, khai triÓn Taylor, khai triÓn Laurent, lý thuyÕt thÆng d− vµ c¸c øng dông cña nã. Ch−¬ng 5 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n, c¸c tÝnh chÊt, c¸c ph−¬ng ph¸p t×m ¶nh - gèc vµ c¸c øng dông cña biÕn ®æi Fourier vµ biÕn ®æi Laplace. Chuyªn ®Ò Ph−¬ng tr×nh vËt lý To¸n gåm cã 3 ch−¬ng Ch−¬ng 6 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt tr−êng : Tr−êng v« h−íng, tr−êng vect¬, th«ng l−îng, hoµn l−u vµ to¸n tö vi ph©n cÊp 1. Ch−¬ng 7 C¸c bµi to¸n c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n, bµi to¸n Cauchy vµ bµi to¸n hçn hîp cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Ch−¬ng 8 Bµi to¸n Cauchy vµ bµi to¸n hçn hîp cña ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt, bµi to¸n Dirichlet vµ bµi to¸n Neumann cña ph−¬ng tr×nh Laplace. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c b¹n ®ång nghiÖp GVC. NguyÔn Trinh, GVC. Lª Phó NghÜa vµ GVC. TS. Lª Hoµng TrÝ ®A dµnh thêi gian ®äc b¶n th¶o vµ cho c¸c ý kiÕn ®ãng gãp ®Ó hoµn thiÖn gi¸o tr×nh. Gi¸o tr×nh ®−îc biªn so¹n lÇn ®Çu ch¾c cßn cã nhiÒu thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®−îc ý kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc gÇn xa. §µ n½ng 2004 T¸c gi¶ Ch−¬ng 1 Sè phøc §1. Tr−êng sè phøc • KÝ hiÖu ∀ = 3 × 3 = { (x, y) : x, y ∈ 3 }. Trªn tËp ∀ ®Þnh nghÜa phÐp to¸n céng vµ phÐp to¸n nh©n nh− sau ∀ (x, y), (x’, y’) ∈ ∀ (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (1.1.1) (x, y) × (x’, y’) = (xx’ - yy’, xy’ + x’y) VÝ dô (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) vµ (2, 1) × (-1, 1) = (-3, 1) §Þnh lý (∀, +, × ) lµ mét tr−êng sè. Chøng minh KiÓm tra trùc tiÕp c¸c c«ng thøc (1.1.1) PhÐp to¸n céng cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö kh«ng lµ (0, 0) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mäi phÇn tö cã phÇn tö ®èi lµ -(x, y) = (-x, -y) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) PhÐp to¸n nh©n cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ (1, 0) ∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) × (1, 0) = (x, y) −y Mäi phÇn tö kh¸c kh«ng cã phÇn tö nghÞch ®¶o lµ (x, y)-1 = ( 2 x 2 , 2 ) x + y x + y2 ∀ (x, y) ∈ ∀ - {(0, 0)}, (x, y) × ( −y x , 2 ) = (1, 0) 2 x + y x + y2 2 Ngoµi ra phÐp nh©n lµ ph©n phèi víi phÐp céng
• Tr−êng (∀, +, × ) gäi lµ tr−êng sè phøc, mçi phÇn tö cña ∀ gäi lµ mét sè phøc. Theo ®Þnh nghÜa trªn mçi sè phøc lµ mét cÆp hai sè thùc víi c¸c phÐp to¸n thùc hiÖn theo c«ng thøc (1.1.1). Trªn tr−êng sè phøc phÐp trõ, phÐp chia vµ phÐp luü thõa ®Þnh nghÜa nh− sau. ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀* víi ∀* = ∀ - { (0, 0) } z z - z’ = z + (- z’), = z × (z’)-1 vµ z0 = 1, z1 = z vµ zn = zn-1 × z (1.1.2) z' • B»ng c¸ch ®ång nhÊt sè thùc x víi sè phøc (x, 0) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 5 Ch−¬ng 1. Sè Phøc x ≡ (x, 0), 1 ≡ (1, 0) vµ 0 ≡ (0, 0) tËp sè thùc trë thµnh tËp con cña tËp sè phøc. PhÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè phøc h¹n chÕ lªn tËp sè thùc trë thµnh phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè thùc quen thuéc. x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, ... Ngoµi ra trong tËp sè phøc cßn cã c¸c sè kh«ng ph¶i lµ sè thùc. KÝ hiÖu i = (0, 1) gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. Ta cã i2 = (0, 1) × (0, 1) = (-1, 0) ≡ -1 Suy ra ph−¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 cã nghiÖm phøc lµ x = − 1 ∉ 3. Nh− vËy tr−êng sè thùc (3, +, ×) lµ mét tr−êng con thùc sù cña tr−êng sè phøc (∀, +, ×). §2. D¹ng ®¹i sè cña sè phøc • Víi mäi sè phøc z = (x, y) ph©n tÝch (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) §ång nhÊt ®¬n vÞ thùc (1, 0) ≡ 1 vµ ®¬n vÞ ¶o (0, 1) ≡ i, ta cã z = x + iy (1.2.1) D¹ng viÕt (1.2.1) gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc. Sè thùc x = Rez gäi lµ phÇn thùc, sè thùc y = Imz gäi lµ phÇn ¶o vµ sè phøc z = x - iy gäi lµ liªn hîp phøc cña sè phøc z. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (1.1.1) - (1.2.1) suy ra d¹ng ®¹i sè cña c¸c phÐp to¸n sè phøc. (x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’) (x + iy) × (x’ + iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + x’y) x + iy xx ′ + yy ′ x ′y − xy ′ = 2 + i , ... x ′ + iy ′ x ′ + y′ 2 x ′ 2 + y′ 2 (1.2.2) VÝ dô Cho z = 1 + 2i vµ z’ = 2 - i z 1 + 2i = =i z' 2−i z2 = (1 + 2i) × (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 × z = (-3 + 5i) × (1 + 2i) = -13 - i z × z’ = (2 + 2) + i(-1 + 4) = 4 + 3i, • Tõ ®Þnh nghÜa suy ra z =z ⇔ z∈3 z = - z ⇔ z ∈ i3 z=z z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z Ngoµi ra liªn hîp phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. §Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ Trang 6 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò (1.2.3) Ch−¬ng 1. Sè Phøc 1. z + z' = z + z' 2. zz' = z z' z n = (z ) n 3. z −1 = ( z ) −1 z z = z′ z′ Chøng minh 1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa 2. Ta cã zz' = (x + iy) × (x ′ + iy ′) = (xx’ - yy’) - i(xy’ + x’y) z z' = (x - iy) × (x’ - iy’) = (xx’ - yy’) + i(-xy’ -x’y) Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 3. Ta cã zz −1 = z z −1 = 1 ⇒ z −1 = ( z )-1 Suy ra z / z ′ = z(z ′) −1 = z z ′ −1 • Víi mäi sè phøc z = x + iy, sè thùc | z | =
x 2 + y 2 gäi lµ module cña sè phøc z. NÕu z = x ∈ 3 th× | z | = | x |. Nh− vËy module cña sè phøc lµ më réng tù nhiªn cña kh¸i niÖm trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra | Rez |, | Imz | ≤ | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 z 1 = z(z’)-1 = z z' z-1 = 1 2 z (1.2.4) z' |z| | z' | 2 Ngoµi ra module cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. §Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ 1. |z|≥0 |z|=0⇔z=0 2. | z z’ | = | z || z’ | | zn | = | z |n z |z| = 3. | z-1 | = | z |-1 z′ | z′ | 4. | z + z’ | ≤ | z | + | z’ | Chøng minh 1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa || z | - | z’|| ≤ | z - z’ | 2. Ta cã | zz’ |2 = zz’ zz' = (z z )(z’ z ′ ) = (| z || z’| )2 Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 3. Ta cã | z z-1 | = | z || z-1| = 1 ⇒ | z-1 | = 1 / | z | Suy ra | z / z’ | = | z (z’)-1 | = | z | | (z’)-1 | 4. Ta cã z z ′ + z z’ = 2Re(z z ′ ) ≤ | z z ′  = | z || z’| Suy ra | z + z’ 2 = (z + z’)( z + z' ) =  z 2 + 2Re(z z ′ ) + | z’|2 ≤ (| z | + | z’|)2
§3. D¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 7 Ch−¬ng 1. Sè Phøc • Víi mäi sè phøc z = x + iy ∈ ∀* tån t¹i duy nhÊt sè thùc ϕ ∈ (-π, π] sao cho y x cosϕ = vµ sinϕ = (1.3.1) |z| |z| TËp sè thùc Argz = ϕ + k2π, k ∈ 9 gäi lµ argument, sè thùc argz = ϕ gäi lµ argument chÝnh cña sè phøc z. Chóng ta qui −íc Arg(0) = 0. KÝ hiÖu r = | z | tõ c«ng thøc (1.3.1) suy ra x = rcosϕ vµ y = rsinϕ Thay vµo c«ng thøc (1.2.1) nhËn ®−îc z = r(cos + isinϕ) (1.3.2) D¹ng viÕt (1.3.2) gäi lµ d¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc. • Tõ ®Þnh nghÜa suy ra argz = ϕ ⇒ arg(-z) = ϕ - π, arg z = - ϕ vµ arg(- z ) = π - ϕ x > 0, argx = 0 x < 0, argx = π y > 0, arg(iy) = π/2 y < 0, arg(iy) = -π/2 ... Ngoµi ra argument cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. §Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀ 1. arg(zz’) = argz + argz’ [2π] arg(zn) = n argz [2π] 2. arg(z-1) = - argz [2π] arg(z / z’) = argz - argz’ [2π] Chøng minh 1. Gi¶ sö z = r(cosϕ + isinϕ) vµ z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Suy ra zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’ - sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)] = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai. 2. Ta cã arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = 0 [2π] ⇒ arg(z-1) = - arg(z) [2π] Suy ra arg(z / z’) = arg(zz’-1) = argz + arg(z’-1) (1.3.3)
VÝ dô Cho z = 1 + i vµ z’ = 1 + 3 i Ta cã zz’ = [ 2 (cos π + isin π )][2(cos π + isin π )] = 2 2 (cos 5π + isin 5π ) 4 4 6 6 12 12 z100 = ( 2 )100[cos(100 π ) + isin(100 π )] = -250 4 4 • Víi mäi sè thùc ϕ ∈ 3, kÝ hiÖu eiϕ = cosϕ + i sinϕ Trang 8 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò (1.3.4) Ch−¬ng 1. Sè Phøc Theo c¸c kÕt qu¶ ë trªn chóng ta cã ®Þnh lý sau ®©y. §Þnh lý ∀ (n, ϕ, ϕ’) ∈ ∠ × 3 × 3 1. eiϕ ≠ 0 eiϕ = 1 ⇔ ϕ = k2π 2. ei(ϕ+ϕ’) = eiϕeiϕ’ (eiϕ)-1 = e-iϕ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (1.3.4) vµ c¸c kÕt qu¶ ë trªn e iϕ = e-iϕ (eiϕ)n = einϕ
HÖ qu¶ ∀ (n, ϕ) ∈ ∠ × 3 1. (cosϕ + isinϕ)n = cosnϕ + isinnϕ (1.3.5) 1 1 2. cosϕ = (eiϕ + e-iϕ) sinϕ = (eiϕ - e-iϕ) (1.3.6) 2 2i C«ng thøc (1.3.5) gäi lµ c«ng thøc Moivre, c«ng thøc (1.3.6) gäi lµ c«ng thøc Euler. n VÝ dô TÝnh tæng C = ∑ cos kϕ vµ S = k =0 n Ta cã C + iS = ∑e k =0 Suy ra C= ikϕ = e n ∑ sin kϕ k =0 i ( n +1) ϕ −1 e −1 iϕ 1 cos( n + 1)ϕ − cos nϕ + cos ϕ − 1 1 sin( n + 1)ϕ − sin nϕ − sin ϕ vµ S = 2 cos ϕ − 1 2 cos ϕ − 1 • Sè phøc w gäi lµ c¨n bËc n cña sè phøc z vµ kÝ hiÖu lµ w = n z nÕu z = wn NÕu z = 0 th× w = 0 XÐt tr−êng hîp z = reiϕ ≠ 0 vµ w = ρeiθ Theo ®Þnh nghÜa wn = ρneinθ = reiϕ Suy ra ρn = r vµ nθ = ϕ + m2π ϕ Hay ρ = n r vµ θ = + m 2π víi m ∈ 9 n n Ph©n tÝch m = nq + k víi 0 ≤ k < n vµ q ∈ 9. Ta cã ϕ ϕ + m 2π ≡ + k 2π [2π] n n n n Tõ ®ã suy ra ®Þnh lý sau ®©y. §Þnh lý C¨n bËc n cña sè phøc kh¸c kh«ng cã ®óng n gi¸ trÞ kh¸c nhau ϕ ϕ wk = n r [cos ( + k 2π ) + isin( + k 2π )] víi k = 0 ... (n - 1) n n n n (1.3.7) VÝ dô Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 9 Ch−¬ng 1. Sè Phøc 2 (cos π + isin π ) cã c¸c c¨n bËc 3 sau ®©y 4 4 w0 = 6 2 (cos π + isin π ), w1 = 6 2 (cos 9π + isin 9π ), w2 = 6 2 (cos 17π + isin 17π ) 12 12 12 12 12 12 2 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x - x +1 = 0 1. Sè phøc z = 1 + i = Ta cã ∆ = -3 < 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm phøc x1,2 = HÖ qu¶ KÝ hiÖu ωk = e 1. ik 2π n 1± i 3 2 , k = 0...(n - 1) lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. ωk = ωn-k 2. ωk = (ω1)k n −1 3. ∑ω k =0 VÝ dô Víi n = 3, kÝ hiÖu j = e i 2π 3 k =0 = ω1 . Suy ra ω2 = j2 = j vµ 1 + j + j2 = 0 §4. C¸c øng dông h×nh häc ph¼ng • KÝ hiÖu V lµ mÆt ph¼ng vect¬ víi c¬ së trùc chuÈn d−¬ng (i, j). Anh x¹ Φ : ∀ → V, z = x + iy α v = xi + yj (1.4.1) lµ mét song ¸nh gäi lµ biÓu diÔn vect¬ cña sè phøc. Vect¬ v gäi lµ ¶nh cña sè phøc z, cßn sè phøc z gäi lµ to¹ vÞ phøc cña vect¬ v vµ kÝ hiÖu lµ v(z). KÝ hiÖu P lµ mÆt ph¼ng ®iÓm víi hÖ to¹ ®é trùc giao (Oxy). Anh x¹ Φ : ∀ → P, z = x + iy α M(x, y) (1.4.2) lµ mét song ¸nh gäi lµ biÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc. §iÓm M gäi lµ ¶nh cña sè phøc z cßn sè phøc z gäi lµ to¹ vÞ phøc cña ®iÓm M vµ kÝ hiÖu lµ M(z). Nh− h×nh bªn, M(z) víi z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) vµ M3( z ). M M1 NÕu z = x ∈ 3 th× ®iÓm M(z) ∈ (Ox), cßn nÕu z = iy th× ®iÓm M(z) ∈ (Oy). Do vËy mÆt ph¼ng (Oxy) cßn gäi lµ mÆt ph¼ng 0 phøc, trôc (Ox) lµ trôc thùc vµ trôc (Oy) lµ trôc ¶o. Sau nµy M2 M3 chóng ta sÏ ®ång nhÊt mçi sè phøc víi mét vect¬ hay mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng vµ ng−îc l¹i. §Þnh lý Cho c¸c vect¬ u(a), v(b) ∈ V, sè thùc λ ∈ 3 vµ ®iÓm M(z) ∈ P 1. |u|=|a| ∠(i, u) = arg(a) Φ(λa + b) = λu + v 2. | OM | = | z | Chøng minh Trang 10 ∠(i, OM ) = arg(z) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Ch−¬ng 1. Sè Phøc Suy ra tõ c¸c c«ng thøc (1.4.1) vµ (1.4.2)
HÖ qu¶ 1 Trong mÆt ph¼ng cho c¸c ®iÓm A(a), B(b), C(c) vµ D(d) AB (b - a), AB = | b - a |, ∠(i, AB ) = arg(b - a) d−c 2. ∠( AB , CD ) = ∠(i, CD ) - ∠(i, AB ) = arg b−a Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh lý 1.
1 1 1 VÝ dô Cho z ∈ ∀ - {-1, 0, 1} vµ A(1), B(-1), M(z), N( ) vµ P( (z + )). Chøng minh z z 2 r»ng ®−êng th¼ng (MN) lµ ph©n gi¸c cña gãc ∠( PA , PB ). Ta cã ∠(i, AP ) = arg( 1 1 (z − 1) 2 (z + ) - 1) = arg 2z 2 z 1 1 (z + 1) 2 ∠(i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg 2z 2 z Suy ra ∠(i, AP ) + ∠(i, BP ) = arg M P B O A N (z − 1) 2 (z + 1) 2 1 = 2arg(z - ) = 2∠(i, MN ) 2z 2z z HÖ qu¶ 2 Víi c¸c kÝ hiÖu nh− trªn 1. Hai ®−êng th¼ng (AB) // (CD) 2. Hai ®−êng th¼ng (AB) ⊥ (CD) 3. Ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng d−c d−c = 0 [π] ⇔ ∈3 b−a b−a d−c π d−c ⇔ arg = [π] ⇔ ∈ i3 b−a 2 b−a c−a c−a ⇔ arg = 0 [π] ⇔ ∈3 b−a b−a ⇔ arg Chøng minh Suy ra tõ c¸c hÖ thøc hÖ qu¶ 1
VÝ dô Trong mÆt ph¼ng t×m ®iÓm A(z) sao cho ba ®iÓm A(z), B(iz) vµ C(i) th¼ng hµng KÝ hiÖu z = x + iy, ta cã iz − i A, B, C th¼ng hµng ⇔ = k ∈ 3 ⇔ -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) z−i 1− k k ( k − 1) ⇔ − y = kx ⇔ x= 2 ,y= 2 víi k ∈ 3 x − 1 = k ( y − 1 )  k +1 k +1 • ¸nh x¹ Φ : P → P, M α N gäi lµ mét phÐp biÕn h×nh Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 11 Ch−¬ng 1. Sè Phøc PhÐp biÕn h×nh M α N = M + v gäi lµ phÐp tÜnh tiÕn theo vect¬ v PhÐp biÕn h×nh M α N = A + k AM (k > 0) gäi lµ phÐp vi tù t©m A, hÖ sè k PhÐp biÕn h×nh M α N sao cho ∠( AM , AN ) = α gäi lµ phÐp quay t©m A, gãc α TÝch cña phÐp tÜnh tiÕn, phÐp vi tù vµ phÐp quay gäi lµ phÐp ®ång d¹ng. §Þnh lý Cho phÐp biÕn h×nh Φ : M α N ⇔ z’ = z + b víi b ∈ ∀ 1. PhÐp biÕn h×nh Φ lµ phÐp tÜnh tiÕn 2. PhÐp biÕn h×nh Φ lµ phÐp vi tù ⇔ z’ = a + k(z - a) víi k ∈ 3+, a ∈ ∀ 3. PhÐp biÕn h×nh Φ lµ phÐp quay ⇔ z’ = a + eiα(z - a) víi α ∈ 3, a ∈ ∀ 4. PhÐp biÕn h×nh Φ lµ phÐp ®ång d¹ng ⇔ z’ = az + b víi a, b ∈ ∀ Chøng minh Suy ra tõ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp biÕn h×nh vµ to¹ vi phøc.
VÝ dô Cho A(a), B(b) vµ C(c). T×m ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ∆ABC lµ tam gi¸c ®Òu i π ∆ABC lµ tam gi¸c ®Òu thuËn ⇔ (a - b) = e 3 (c - b) ⇔ (a - b) = - j2(c - b) ⇔ a + jb + j2c = 0 T−¬ng tù, ∆ACB lµ tam gi¸c ®Òu nghÞch B ⇔ (a - b) = - j(c - b) ⇔ a + jc + j2b = 0 Suy ra ∆ABC lµ tam gi¸c ®Òu ⇔ (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca A + π3 C §5. D~y trÞ phøc • ¸nh x¹ ϕ : ∠ → ∀, n α zn = xn + iyn (1.5.1) gäi lµ dAy sè phøc vµ kÝ hiÖu lµ (zn)n∈∠. D~y sè thùc (xn)n∈∠ gäi lµ phÇn thùc, d~y sè thùc (yn)n∈∠ lµ phÇn ¶o, d~y sè thùc d−¬ng (| zn |)n∈∠ lµ module, d~y sè phøc ( z n )n∈∠ lµ liªn hîp phøc cña d~y sè phøc. D~y sè phøc (zn)n∈∠ gäi lµ dÇn ®Õn giíi h¹n a vµ kÝ hiÖu lµ lim zn = a nÕu n → +∞ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn - a | < ε D~y sè phøc (zn)n∈∠ gäi lµ dÇn ra v« h¹n vµ kÝ hiÖu lµ lim zn = ∞ nÕu n → +∞ ∀ M > 0, ∃ N ∈ ∠ : ∀ n > N ⇒ | zn | > M D~y cã giíi h¹n module h÷u h¹n gäi lµ dAy héi tô. D~y kh«ng héi tô gäi lµ dAy ph©n kú. Trang 12 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò