Nội dung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU [ Người thực hiện : Chức vụ : Đơn vị công tác : SKKN thuộc lĩnh vực: Nguyễn Văn Trào Giáo viên Trường THPT Hoằng Hoá 4 Môn Vật Lý THANH HÓA NĂM 2013 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi... thường có các câu hỏi tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều như: công suất, cường độ dòng điện, hiệu điện thế... khi có sự biến thiên của các phần tử trong mạch như: R, L, C hoặc tần số góc  . Gặp những bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc tìm cho mình một phương pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và làm ảnh hưởng đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao. Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương pháp cơ bản để giải các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới thiệu một số dạng bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều và phương pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều phương pháp để giải và lựa chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất. 1 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị thường gặp và có các phương pháp giải như sau: DẠNG 1: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R. Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi, trong đó U, L, C,  không đổi ( mạch điện như hình vẽ). A R L C B 1.1. Tìm R để Imax =? Lập biểu thức tính cường độ dòng điện: Theo định luật ôm U  I= Z U R 2  (Z L  Z c ) 2 do U = Const nên Imax khi Zmin khi đó R ->0 => Imax = U Z L  ZC 1.2. Tìm R để Pmax =? U 2.R U 2.R Lập biểu thức công suất của mạch: P = I R =  2 (1) Z2 R  (Z L  Z c ) 2 2 - Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được: P' = U2 R 2  ( Z L  Z C ) 2  2U 2 R 2 R 2  (Z L  Z C ) 2  2  U 2  (Z L  Z C ) 2  R 2  R 2  (Z L  Z C ) 2  2 P' = 0 => R = /ZL - ZC/ khảo sát biến thiên của P theo R. R 0 /ZL - ZC/ + P' + 0 - P 0 Pmax 0 U2 U2  Ta thấy khi R = /ZL - ZC/ thì P = Pmax => Pmax = 2 Z L  Z C 2R 2 - Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi: (Z  Z C ) U2 Từ (1) => P = => Rmax khi R + L 2 (Z  ZC ) R R L R 2 min (Z L  Z C ) 2 Do Rvà là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có: R (Z L  Z C ) 2 R+  2/ZL - ZC/. Dấu "=" xảy ra khi: R = /ZL - ZC/ R U2 U2  Vậy với R = /ZL - ZC/ thì: Pmax = . 2 Z L  Z C 2R Nhận xét: Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất đẳng thức côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương pháp đạo hàm. 1.3. Tìm R để UR; UL; UC đạt giá trị cực đại? a.Tìm R để URmax= ? Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = U. R R 2  (Z L  Z C ) 2  U (Z L  Z C ) 2 1 R2 => URmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R ->  và URmax = U. b.Tìm R để ULmax= ? Lập biểu thức tính UL ta có: UL= I.ZL = U.ZL R 2  ( Z L  ZC )2 U.ZL | Z L  ZC | => ULmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và ULmax = c. Tìm R để UCmax= ? Lập biểu thức tính UC ta có: UC = I.ZC = U . ZC 2 R  ( Z L  ZC )2 => UCmax khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R = 0 và UCmax = U . ZC | Z L  ZC | Nhận xét: Do URmax = U nên không xãy ra trường hợp UR > U, còn ULmax và UCmax có thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý. 1.4. Tìm R để URL, URC , ULC đạt cực đại: 3 a. Tìm R để URL đạt cực đại: U R 2  Z L2 U Ta có: URL = I.ZRL = . Z RL  2 => URL = Z R  (Z L  ZC ) U 1 2 C Z  2Z L Z C R 2  Z L2 Để URLmax thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R ->  khi đó URLmax = U. b. Tìm R để URC đạt cực đại: Ta có URC = I.ZRC = U R 2  Z C2 U = .Z RC  Z R 2  (Z L  ZC )2 U Z L2  2 Z L Z C 1 R 2  Z C2 => URCmax = U khi R ->  c. Tìm R để ULC đạt cực đại: Ta có ULC = I.ZLC = U (Z L  Z C ) 2 R 2  (Z L  Z C ) 2 ; ULcmax khi R -> 0 => ULCmax = U. Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ: A R L C B Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện uAB = 100 2 cos 100  t (V). Cho cuộn 10 4 2 dây thuần cảm có độ tự cảm L = (H); tụ điện có điện dung C = (F), R   thay đổi được.Tìm R để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại, tính Pmax=? *Phương pháp đạo hàm: Ta có công suất P = I2R = U 2R ; R 2  (Z L  Z C ) 2 U = 100(v); ZL = 200(); ZC = 100() 100 2 . R 100 2 ( R 2  100 2 ) 100 2 . 2 R 2 => P = 2  P' ( R )  R  100 2 ( R 2  100 2 ) 2 => P' = 0 => 1002 (1002 - R2) = 0 => R = 100(). Ta thấy khi R = 100() thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm. 4 100 2.100 100 Do đó Pmax khi R = 100() và Pmax = = 50(W)  100 2  100 2 2 * Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi: 100 2 100 2  2.100 Ta có: P = . Theo Côsi ta có: R + 100 2 R R R Dấu "=" khi R2 = 1002 => R = 100() (loại nghiệm R = -100 <0 ) => Pmax = 1002/1.200 = 50 (W). Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ: A R R0, L C UAB = 100 2 cos 100  t (v) cuộn dây có độ tự cảm L = B 1.4 (H) và điện trở  10 4 trong R0 = 30 (), tụ điện có điện dung C = (F)  a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ? b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ? Bài giải: *Phương pháp dùng BĐT Côsi: a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2 (R+R0) = U 2 ( R  R0 ) 2 ( R  R0 ) 2  Z L  Z C  U2 U2 => P = Do U = Const nên Pmax khi Amin theo bất  (Z L  Z C ) 2 A ( R  R0 )  R  R0 (Z L  Z C ) 2 đẳng thức côsi ta có: A = (R + R0) +  2 / ZL - ZC / R  R0 => Amin = 2 / ZL - ZC / = 2 (140 - 100) = 80(). Dấu "=" khi R + R0 = / ZL - ZC / = (140 - 100) = 40() => R = 40 - R0 = U2 1002 10() khi đó Pmax = =  125(W ) 80 A min 5 Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần R0 thì ta có thể đặt Rtđ= R + R0 rồi áp dụng BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi Rtđ= R + R0 = / ZL - ZC / => R= / ZL - ZC /- R0. Nếu R0 > / ZL - ZC / thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên U 2 .R0 . R02  ( Z L  Z C ) 2 mạch đạt cực đại : Pmax = U2 R b. Công suất tiêu thụ trên R: PR = I R = Z2 2 U 2R U 2R => PR =  ( R  R0 )2  ( Z L  Z C )2 R 2  R02  ( Z L  Z C ) 2  2 RR0 PR = U2  R02  ( Z L  Z C ) 2 R R     2 R0   U2 A  2 R0 Do U, R0 không đổi nên PRmax khi Amin Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R + R02  ( Z L  Z C ) 2 = Dấu "=" khi R = R 2 0  (Z L  Z C ) 2   2 R02  ( Z L  Z C ) 2 R 30 2  40 2 = 50 => Amin = 2R = 100 => PRmax = U2 U2 1002 1002     62,5(W) A min  2 R0 2( R  R0 ) 2(50  30) 160 DẠNG 2: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L. Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công suất trong mạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại lượng U, R, C,  không đổi. (mạch điện như hình vẽ) A R L C B 2.1. Tìm L để Imax, Pmax = ? U U .  Z R 2  (Z L  Z c )2 Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min. a. Theo định luật ôm ta có: I = Ta thấy mẫu số cực tiểu khi ZL - ZC = 0 => ZL = ZC => L = 1  2C 6 => Imax = U mạch xảy ra cộng hưởng điện. R b. Ta có: P = I2R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L = 1  2C U2 U2 => Pmax = I R= .R  R2 R 2.2. Tìm L để ULmax;URmax; Ucmax =? a. Tìm L để URmax = ? 2 max U.R Lập biểu thức tính UR ta có: UR= I.R = ta thấy URmax khi R 2  ( Z L  ZC )2 1 => URmax= U.  2C b. Tìm L để ULmax=? *Phương pháp dùng đạo hàm: U.ZL U Ta có: UL = I.ZL = . Z L = = U. f (ZL) (1) Z R 2  (Z L  Z C ) 2 ZL Với f (ZL) = đạo hàm theo ZL rút gọn ta được: R 2  (Z L  Z C ) 2 ZL = ZC => L = f' (ZL) = R 2  Z C2  Z L Z C R  (Z L  Z C ) 2  R 2  Z C2 ta có f' (ZL) = 0 => ZL = và đổi dấu từ dương sang âm. ZC 3 /2 2 R 2  Z C2 ZC => fmax =  R 2  Z C2  R    Z C   ZC  2  R 2  Z C2 R ; ULmax = U.fmax = U . R 2  Z C2 R 2 * Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ: Theo định lý hàm số sin ta có: UL U U . sin   U L  Sin Sin sin  0 U   UL UR I   URC UC 7 UR R  U RC R 2  Z C2 Ta thấy Sin  = do R, C không đổi nên sin  không đổi. Mặt khác do U không đổi nên UL cực đại khi sin = 1 = >  = /2.=>   U RC và U vuông pha với nhau. => ULmax = => U . R 2  Z C2 R Mặt khác ta có: UC U UL  RC . Trong đó Sin = Sin Sin U RC 2 UL R 2  Z C2 U RC U2 Z2  mà Sin  = 1 => UL = RC => ZL = RC => ZL = UC UC ZC Sin ZC * Phương pháp dùng tam thức bậc 2: Từ (1) ta có: UL = UL = U.ZL R 2  (Z L  Z C ) 2 U  U f (Z L ) = U R 2 (Z L  Z C ) 2  Z 2L Z L2 R 2  Z C2 2Z C Với f(ZL) =  1 Z L2 ZL R 2  Z C2 2 Z C  1 Z 2L ZL 1 Đặt X = = f(ZL) = f(x) = (R2 + Z C2 ) X2 - 2ZC X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức ZL Z b 1  2 C 2 bậc 2 có a = (R2 + Z C2 ) > 0 => f(x) min khi X = 2a R  Z C Z L U R 2  Z C2 R 2  Z C2 R2 => ZL = => f(ZL) min = 2 => ULmax = R ZC R  Z C2 c. Tìm L để UCmax = ? Lập biểu thức tính UC ta có: UC= I.ZC = ZL = ZC => L = U . ZC 2 R  ( Z L  ZC )2 ta thấy UCmax khi 1 U .Z C => U Cmax  2 R  C 2.3. Tìm L để URLmax; URcmax; ULcmax =?. a. Tìm L để URLmax =? . Theo định luật ôm ta có: URL = I. ZRL = U ZRL Z 8 => URL = U R 2  Z L2 R 2 (Z L  Z C ) 2 Trong đó: f(ZL) = U = 1  2 C Z  2Z L Z C R 2  Z 2L U 1 f (Z L ) Z C2  2 Z L Z C (1) đạo hàm theo ZL. R 2  Z 2L  2 Z C ( R 2  Z 2L )  2 Z L ( Z C2  2Z L Z C ) Ta có: f'(ZL) = (R 2  Z 2L ) 2 f' (ZL) = 0 => Z 2L - ZLZC - R2 = 0 ta có  = Z C2 + 4R2 > 0 Z C  Z C2  4 R 2 => ZL1 = (loại nghiệm âm) f' (ZL) triệt tiêu và đổi dấu từ âm 2 Z C  Z C2  4 R 2 sang dương nên f (ZL1) min khi ZL1 = 2 U khi đó URLmax = với f (ZL1) theo (1) hoặc có thể thay ZL1 vừa 1 f ( Z L1 ) min tìm được ta có URLmax = U R 2  Z L21 R 2 ( Z L1  Z C ) 2 b. Tìm L để URCmax= ? Ta có : URC = U . R 2  Z C2 2 R  (Z L  ZC ) => URCmax = 2 => URCmax khi ZL = ZC => L = 1  2C U . R 2  Z C2 R c. Tìm L để ULCmax= ? Ta có: ULC = U (Z L  Z C ) 2 2 R (Z L  Z C ) 2  U R2 1 (Z L  Z C ) 2 ULCmax khi ZL ->  => L - => ULCmax = U. Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó UAB = 200 2 sin 100  t (V) A R C L B V 9